Les équations : base

La relation de type A = B où A et B sont deux nombres est une égalité.
Par exemple : 2 + 3 = 5 est une égalité vraie,
par contre 2 + 3 = 4 est une égalité fausse.
Si A = B contient une inconnue, alors c'est une équation. Ex : x + 3 = 5.
Un problème met souvent en jeu des inconnues qui sont à déterminer de telle manière que l'équation puisse être vérifiée.

Pour résoudre une équation de ce type, on doit utiliser des opérations.
Exemple :

• 10x = 10
• x = 10/10
• x = 1

Pour aller plus loin, prenons cette équation:
Nous allons considérer chaque facteur car un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Qu'est-ce qu'une racine ? Une racine est un nombre qui vérifie l'égalité. Donc dans une équation si on remplace les x par 2 et que le résultat est nul, 2 est une racine
Voici la meilleure méthode pour la résoudre :
On annule le facteur pour trouver la valeur de x
On passe toujours le terme sans x en premier. Lorsqu'on le change de membre, on change également son signe.
Le facteur est modifié en quotient, sans changer de signe
et -3/5 est la racine du polynôme 5x + 3.

On dit alors que est une racine du polynôme et donc du coup du polynôme

Nous avons résolu l'équation (5x+3)(2x+7) = 0 car nous avons calculé les 2 valeurs de x qui vérifient l'équation : -3/5 et -7/2.

Mais on peut prolonger cet exercice : on peut rechercher le signe de cette expression. Quand est-elle positive ou négative ?
Pour cela ; on garde en tête ces valeurs de x.
Pour calculer le signe du produit, on va devoir maintenant créer un tableau pour trouver le signe de chaque facteur constituant le produit et ensuite déterminer le signe du produit. Cela peut permettre par la suite de construire un graphique par exemple.
On place dans l'ordre ascendant (croissant) les valeurs de x trouvées précédemment, soit -3/5 et -7/2 (les racines). Sur les lignes suivantes, à gauche du tableau, on place un facteur par ligne. Puis dans le tableau on place sous la racine un zéro ensuite on place le signe du coefficient de x à droite de ce zéro et le signe opposé à gauche.
Par exemple, si le coefficient de x est positif, on place + à droite et on met - à gauche de l'annulation (on place donc 0 à la ligne de (5x+3) sous -3/5).

Pour obtenir le signe du produit, on multiplie les signes par colonne, ce qui donne - * - = +, - * + = - et lors d'un 0, on place 0.
Maintenant, ce tableau indique que si la valeur de x se situe avant -7/2 (c'est-à-dire -3,5), l'expression aura une valeur positive.
Essayons : si x = -10 alors (-5x+3) (2x + 7) = (-50 + 3) (-20 +7) = -47 . (-13) = 611 est une valeur positive.
Si la valeur de x se situe au-delà de -3/5 alors l'expression aura une valeur positive aussi.
Essayons avec x = 0 (cela permet des calculs rapides): (-5x +3) (2x + 7) = 3 . 7 = 21 est bien une valeur positive.
Et si x se situe entre les 2 racines, par exemple x = -2, on obtient -7 . 3 soit - 21 qui est une valeur négative.