Dernière version du 25.04.2008 21h10
La méthode de Hörner peut servir à factoriser un polynôme.
Prenons par exemple un polynôme de degré 5:
Nous allons tenter d'obtenir:
où r est un réel
Pour cela il faut tout d'abord de déterminer les racines de ce polynôme, et ainsi le factoriser.
Pour débuter il faut trouver une racine évidente (..., -2, -1, 1, 2, ...)
On regarde si l'égalité est bonne, donc si en remplacant x par une de ces valeurs évidentes, l'équation est égale à zéro.
Attention, il faut que le x choisi soit un diviseur du terme indépendant (ici +1). Donc si le terme indépendant est 3, nous pouvons avoir comme racine probable : +1,-1, +3, -3.
Dans notre cas, on constate que -1 est une racine évidente du polynôme. (représenté par la lettre r)
On souhaite ensuite factoriser le polynôme sous la forme :
Pour cela, on utilise le tableau de Hörner.
On place la racine évidente trouvée (-1) tout à gauche du tableau.
Ensuite on place chaque coefficient des termes du polynôme ordonné et complet à la suite en tant que nom de colonne.
Attention au coefficient 0, il faut quand même le placer (il marque la ou les puissances manquantes).
| Racine | 1 | -9 | 16 | 16 | -9 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 |
Ensuite, il suffit de descendre le premier coefficient.
| Racine | 1 | -9 | 16 | 16 | -9 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | ||||||
| 1 |
On le multiplie alors par la racine trouvée. Toujours -1 
On place le résultat en dessous du coefficient suivant.
| Racine | 1 | -9 | 16 | 16 | -9 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | -1 | |||||
| 1 |
Et ainsi de suite...
| Racine | 1 | -9 | 16 | 16 | -9 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | -1 | 10 | -26 | 10 | -1 | |
| 1 | -10 | 26 | -10 | 1 | 0 |
Si tout se passe bien, le chiffre de la dernière colonne de la dernière ligne doit être zéro.
Sinon, il a dû y avoir un erreur avant 
Maintenant c'est simple: Nous replaçons les chiffres de la dernière ligne en tant que coefficient d'un polynôme de degré 4, sans prendre en compte le zéro final.
Nous avons donc une factorisation, nous sommes descendus d'un cran dans le degré du polynôme
Pour passer par la suite à un polynôme de degré trois, il suffit de recommencer l'opération avec une nouvelle racine 
Bien sûr tout ça ne marche qu'à condition de trouver des racines évidentes, et parfois les racines ne sont pas évidentes ou n'existent carrément pas dans !