Étude d'une fonction (1/5) : Domaine de définition d'une fonction

Jusqu'en Terminale (FR) et même après, l'étude de fonctions est une part importante des Mathématiques : c'est un sujet récurrent des devoirs surveillés avant le Baccalauréat, et un intermédiaire d'étude indispensable après ce dernier. Cette première fiche de cours d'une série de 5 ayant pour vocation de rappeler les grandes lignes d'une étude de fonction est consacrée à l'étude du domaine de définition, souvent noté Df, d'une fonction f.

[modifier ( modifier-157-section-1.cours)]Domaine de définition ?

Qu'est-ce qu'un domaine de définition ? Découvrons-le au travers de quelques exemples :
Considérons par exemple la fonction suivante :

Cette fonction simple peut être "utilisée" pour n'importe quel "x" dans , c'est-à-dire n'importe quel nombre réel. En effet quel que soit le nombre que vous choisissiez, il est possible de calculer son carré, d'y ajouter trois fois ce nombre puis de soustraire 5.

On dit que f est définie sur , c'est-à-dire qu'elle "fonctionne" avec n'importe quel réel, ou plus scientifiquement, que l'image de chaque réel par f est définie, existe. On dit aussi que le domaine de définition de f est  :

Malheureusement, toutes les fonctions ne sont pas aussi simples que celle-ci. Considérons maintenant une autre fonction relativement connue :

La fonction racine carrée n'est définie que pour des nombres positifs, c'est-à-dire que existe, mais que n'existe pas. Vous pouvez le vérifier avec votre calculatrice : celle-ci devrait vous renvoyer un code d'erreur quelconque si vous tentez de lui faire calculer .

En Mathématiques, vous utilisez ainsi plusieurs fonctions "de base" comme , , , (bon, d'accord peut-être pas encore la dernière ...) qui chacune ont leurs restrictions d'usage, autrement dit des domaines de définition limités. C'est leur domaine de définition qu'il vous faut connaître.

Retenez principalement le domaine de définition de ces deux fonctions : et . Ce sont celles que vous rencontrerez le plus fréquemment dans le secondaire.

Domaine de définition de  : . (Tous les nombres positifs ou nuls)
Domaine de définition de  : . (Tous les nombres réels sauf 0)

[modifier ( modifier-157-section-2.cours)]Etude du domaine de définition d'une fonction

Maintenant que la notion de domaine de définition est précisée/rappelée, nous allons l'appliquer à différents exemple du type de ceux que vous rencontrerez dans les sujets.

[modifier ( modifier-157-section-7.cours)]Rédaction typique d'une recherche du domaine de définition

Pour certaines fonctions, vous serez très vite capable de donner le domaine de définition sans réfléchir. Vous pouvez dès lors l'inscrire directement dans votre copie, par exemple :

Pour d'autre fonctions, la recherche du domaine de définition est nécessaire au brouillon, et donc doit être rédigée dans votre copie. Asséner votre résultat directement pourrait amener le correcteur à douter de l'origine du résultat, et donc vous faire perdre une partie voire la totalité des points attribués à cette difficulté. Voici un exemple de rédaction possible pour montrer comment vous êtes abouti au résultat :

Déterminer le domaine de définition de .

Soit x un réel
existe
Calcul du discriminant :

D'où : et les racines sont et
Le polynôme est strictement positif pour

[modifier ( modifier-157-section-8.cours)]Solutions

 :

• Il faut que donc que .
• Il faut que le nombre sous la racine soit positif ou nul : soit

D'où :

 :

• Il faut que donc que . Ce qui est toujours le cas : le polynôme ne possède pas de racines dans
• Il faut que le nombre sous la racine soit positif ou nul : soit

D'où :