Dernière version du 20.09.2010 17h38
Sommaire
1 Introduction
1.1 Historique
1.2 Utilité
2 Notion de dérivée
2.1 Notion de taux d'accroissement
2.2 La dérivée : une limite
3 Calcul de dérivée en un point
3.1 Dérivabilité
3.2 Nombre dérivé
3.3 Tangente
4 Dérivée d'une fonction sur un ensemble
4.1 Ensemble de définition / Ensemble de dérivabilité
4.2 Formules générales
4.3 Notation diverses
[modifier (
modifier-161-section-1.cours)]Introduction
[modifier ( modifier-161-section-2.cours)]Historique
C'est au XVIIème siècle qu'apparait pour la première fois la notion de "infiniment petit". Newton, puis Leibniz, avaient déja cherché à étudier des variations sur l'infiniment petit.
Cependant, on ne savait pas encore comment le prouver mathématiquement, avec toute la rigueur que cela demandait. Il fallut attendre la première moitié du XVIIIème siècle, avec D'Alembert, pour trouver sa définition propre : une limite d'un taux d'accroissement.
Plus tard, à la fin du XIXème siècle, Weierstraß, définira plus formellement ce qu'est une dérivée, et en déduira de multiples applications.
[modifier ( modifier-161-section-3.cours)]Utilité
La dérivation, trouve son utilité pour calculer des vitesses, des accélérations, des mouvements de fluide, de pièces...
Elle trouve son application de partout même en biologie, ou en économie....
[modifier ( modifier-161-section-4.cours)]Notion de dérivée
[modifier ( modifier-161-section-5.cours)]Notion de taux d'accroissement
Un taux est intuitivement un pourcentage. Un pourcentage est le rapport à 100 unités, de la mesure de l'accroissement d'une grandeur.
C'est donc un nombre sans dimension. Par exemple, je peux dire que je gagne 10% de plus qu'il y a 1 an: Cela veut dire qu'entre le montant de mes salaires nommés S_ici et S_1an, on a la relation:
S_ici = S_1an + S_1an*10/100 = S_1an*(1 + 0,1)
0,1 est ici le "taux d'accroissement" de la grandeur "montant_de_mon_salaire" sur 1 an.
Tout cela pourrait être reformulé 'plus mathématiquement' ainsi:
Dans un repère quadrillé de 2 dimensions respectivement nommée 'Temps' et 'Montant_De_Mon_Salaire' dans lequel on aurait pointé chacun des points suivants P1 = { S_1an, 0 } et P2 = { S_ici, 1_an_de_temps }, le segment P1P2, que l'on pourrait tracé, possèderait une pente de '0,1'. On peut dire aussi "un coefficient directeur de 0,1". Cela signifierait que le 'montant de mon salaire' a subit une 'taux d'accroissement de 10%' sur un temps de '1 an'