Dernière version du 23.08.2007 16h03
Sommaire
1 Les nombres réels
1.1 Les nombres entiers
1.2 Les nombres rationnels
1.3 Les nombres irrationnels
2 Nombres premiers et décompositions
[modifier (
modifier-174-section-1.cours)]Les nombres réels
[modifier ( modifier-174-section-2.cours)]Les nombres entiers
Il existe plusieurs catégories, appelées ensembles, dans les nombres entiers:
- L'ensemble des entiers naturels noté
. C'est l'ensemble composé des nombres que l'on utilise pour dénombrer, par exemple 0,1,2,35,157,205, 317 etc.
- L'ensembles des entiers relatifs noté
. C'est l'ensemble des entiers naturels et des entiers négatifs. Par exemple : -15 ; -7 ; 0 ; 2 ; 15. Tous les éléments de N se retrouvent dans Z, on dit que N est inclus dans Z.
[modifier ( modifier-174-section-3.cours)]Les nombres rationnels
- L'ensemble des nombres décimaux est noté
. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
où a et n sont des entiers relatifs. On peut dire que c'est un nombre qui est le quotient d'un entier par une puissance entière de 10 ; exemple : 53/100 = 0,53. Un nombre décimal est donc un nombre "à virgule" possédant un nombre fini de décimales. Par exemple: 1/2 ; -17.48 ; 0 ; 3.35 ; -1/4.
est inclus dans
- L'ensemble des nombres rationnels est noté
. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
où a et b sont des éléments de
[modifier ( modifier-174-section-4.cours)]Les nombres irrationnels
Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ils ne peuvent donc pas s'écrire sous la même forme que les nombres rationnels, de plus ils ont un nombre infini de chiffres après la virgule.
Deux exemples connus de nombres irrationnels sont et
.
[modifier ( modifier-174-section-5.cours)]Nombres premiers et décompositions
Définition: On appelle nombre premier tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 ayant exactement 2 diviseurs: 1 et lui-même.
Exemple: 12 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, et bien sûr, par 12.
Le tableau ci-dessous montre tous les nombres premiers inférieurs à 50.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 | ||||||||
| 31 | 37 | ||||||||
| 41 | 43 | 47 | 49 |
Théorême fondamental : Tout nombre non-premier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers et ce produit est unique.
Quelle que soit notre décomposition, nous aboutirons tous au même produit final.
Exemple:
60 = 30 x 2
60 = 15 x 2 x 2
60 = 2² x 3 x 5
ou
60 = 6 x 10
60 = 2 x 3 x 2 x 5
60 = 2² x 3 x 5
146 = 73 x 2
On ne peut pas décomposer davantage 146 car 73 est un nombre premier et 2 aussi.
180 = 90 x 2
180 = 45 x 2 x 2
180 = 3 x 15 x 2²
180 = 3 x 3 x 5 x 2 x 2
180 = 2² x 3² x 5
ou
180 = 3 x 60
180 = 3 x 3 x 20
180 = 3 x 3 x 4 x 5
180 = 3 x 3 x 2 x 2 x 5
180 = 2² x 3² x 5
et l'on prend l'habitude de placer les facteurs premiers du plus petit au plus grand, cela permet une comparaison plus facile des solutions obtenues.