Dernière version du 07.05.2008 00h03
Sommaire
1 Qu'est-ce qu'une équation du deuxième degré ?
2 Comment s'y prendre ?
3 D'où viennent ces formules ?
3.1 Démo
[modifier (
modifier-18-section-1.cours)]Qu'est-ce qu'une équation du deuxième degré ?
Deuxième degré, c'est le degré maximum (la valeur de l'exposant le plus élevé) de l'inconnue, donc dans ce cas, ce sera . Une inconnue est une variable (un nombre) dont on ne connaît pas la valeur (mais on va la chercher
).
Un petit exemple d'une équation possible au deuxième degré :
[modifier ( modifier-18-section-2.cours)]Comment s'y prendre ?
Il faut commencer par mettre de l'ordre (ranger en puissances décroissantes). Pour cela, on va déplacer les monômes de façon à avoir en premier l'inconnue au carré (), ensuite l'inconnue et enfin le monôme sans inconnue (ce qu'on appelle aussi le terme constant). Dans le cas où il y aurait plus de monômes, il faudra regrouper (et réduire) les ...
, les ...
et les ... afin d'arriver à ces trois monômes sous la forme de
.
Une fois chacun de ces termes identifiés séparément, on va pouvoir calculer le discriminant (ou delta) symbolisé par la lettre grecque .
Voici la formule:
Une fois le discriminant de votre équation trouvé, vous aurez devant vous trois cas de résolution possibles.
- La première, (celle que je préfère car c'est la plus facile
): < 0... Votre équation n'a pas de solutions dans
(Elle aura une solution dans
, l'ensemble des nombres complexes, mais nous verrons ça plus tard dans le chapitre sur les nombres complexes) et fin du cauchemar... S = { } c'est à dire l'ensemble vide aussi représenté par
.
- Ensuite, si
- La dernière, c'est le dessert (pour le prof, pas pour vous !) :
Voici pour finir un exemple pas à pas pour que vous compreniez bien :
En bref, avec l'expression x² + 3x + 2 et les racines calculées avec la méthode du delta :
soit on vous demande de résoudre l'équation : x²+3x+ 2 = 0 alors x = -1 et x = -2 sont les 2 solutions possibles de cette l'équation,
soit on vous demande de factoriser l'expression : x² + 3x + 2 = (x -(-1)) . (x - (-2)) = (x + 1) (x + 2).
NB : Une fois votre expression factorisée, vous pourrez bien entendu calculer par la règle du produit nul, les solutions à cette expression devenue "équation". Je m'explique : x² +3x + 2 = 0 <⇒ (x + 1) (x + 2) = 0 <⇒ x + 1 = 0 ou x + 2 = 0 <⇒ x = -1 ou x = -2. (voir résolution d'équation de degré supérieur à 1).
A vous d'être attentif à l'énoncé : on me demande de résoudre ou de factoriser ?
En tout, il y a une formule à retenir et c'est tout. Si est négatif, stop pour le moment, il n'y a pas de solution réelle.
Si est positif (j'effectue le calcul et j'ai 2 racines) et si
est nul, j'effectue le même calcul et je trouve une seule racine. Je ne vous avais pas dit que les maths c'était simple ?
[modifier ( modifier-18-section-3.cours)]D'où viennent ces formules ?
En maths rien n'est magique ! Alors vous voulez savoir pourquoi ça marche ? Non ? Ben je vais vous le dire quand même. Sérieusement voici la démonstration, elle a l'air un peu longue mais elle est en fait assez simple et (j'espère) bien expliquée. Mais bon, je vais pas vous forcer, vous êtes pas obligé de la lire si vous avez pas envie !
[modifier ( modifier-18-section-4.cours)]Démo
On va commencer par un petit rappel : si vous connaissez vos identités remarquables, alors vous savez qu'on a l'égalité suivante :
(et si vous le savez pas, vous avez qu'à faire le calcul et vous verrez bien que c'est vrai). Maintenant imaginez qu'on ait ça :
On aimerait bien en faire quelque chose, et l'idée c'est qu'un truc en , un truc en x.... ça ressemble pas mal au côté droit de l'équation de tout à l'heure non ? Et si on pouvait l'écrire comme le carré d'une somme ? En fait, ça ressemble presque à ça :
. En effet, quand on développe, on obtient
Bon, c'est pas parfait, on a une petit constante en trop, mais c'est pas très grave, on n'a qu'à la faire passer de l'autre côté. On obtient donc au final :
Si vous n'êtes pas convaincu par cette égalité, développez la partie de droite et vous verrez bien qu'on retombe sur ce qu'on a à gauche.
Elle a l'air de rien cette égalité mais elle va être très utile dans le suite...
Sinon pour la petite culture, cette façon d'écrire un polynôme du second degré s'appelle la forme canonique.
Maintenant on va commencer la démonstration. On a donc une équation du second degré, c'est à dire quelque chose de la forme où
. Maintenant suivez avec moi le calcul... (à côté de chaque opération j'ai écrit ce qu'on venait de faire)
On a mis sous forme canonique avec la formule de tout à l'heure ! C'est la seule partie un peu astucieuse de la démo. Le
de la formule de tout à l'heure est ici
. Si vous avez compris ce qu'on vient de faire, vous avez compris toute la démo. Continuons...
C'est donc ici qu'apparaît l'importance du signe de . En effet, on prend la racine des deux côtés. À gauche pas de problème, dans
un carré est toujours positif, à droite pas de problème non plus pour le dénominateur pour la même raison. Par contre on ne sait toujours rien sur
! Si
est négatif, alors ça veut dire que du côté gauche on a quelque chose de positif, et du droit quelque chose de négatif. C'est impossible ! Donc pas de solution dans
. Si
est positif ou nul par contre on peut continuer le calcul...
Voilà ! C'était pas très compliqué non ? Vous remarquerez qu'on a pas eu à faire de cas spécial pour , en effet les formules sont toujours vraies, c'est juste que les deux solutions sont égales.