Derivées (1/3) : dérivée de polynomes simples

[modifier ( modifier-205-section-3.cours)]Définition et variation

La fonction carrée définie par est décroissante , puis croissante.

On peut ainsi établir son tableau de variations

Ainsi on peut dire que la derivée de x² est négative pour
Ainsi on peut dire que la derivée de x² est positive pour
Ainsi on peut dire que la derivée de x² est nulle pour

[modifier ( modifier-205-section-4.cours)]Correspondance dérivées/taux de croissance

...
Notez que cette partie n'est en aucun cas une démonstration : les dérivées se démontrent via un autre moyen : A retenir, seulement les formules générales.

Cependant, on peut noter, que comme on l'a vu la dérivée, pour une fonction affine correspond au coefficient directeur. Plus la dérivée est grande, plus la courbe croît rapidement.

Ainsi, ici ; la fonction decroit de moins en moins rapidement en se rapprochant de 0.
On peut donc dire que la derivée se "rapproche de 0"... Pas compris ?

Cela marche de la même maniere que la fonction affine, la dérivée est en quelque sorte "la pente" de la courbe de la fonction.

Inversement, alors, la même fonction croit de plus en plus rapidement en s'eloignant de 0.
On peut donc dire que la derivée s' "éloigne de 0"...

Ainsi on a pour la dérivée, une fonction (car la dérivée est une fonction), qui se rapproche de 0, donc croît sur , et croît sur , et qui est nulle en 0.

Or, cette fonction ressemble etrangement à la fonction .

Cependant, l'etude de la croissance de , nous montre que la dérivée de cette fonction est

Or, la presence de coefficients ne change rien dans le calcul de dérivée, car la courbe ne croît que d'un multiplicateur plus vite (ce multiplicateur etant le coefficient)

[modifier ( modifier-205-section-5.cours)]Tableau recapitulatif

Fonction	Dérivée

Ici, en bleu, la derivée de la fonction en rouge, on retrouve bien toutes les propriétés.

[modifier ( modifier-205-section-7.cours)]Recherche

Identiquement la démonstration se fait via un autre moyen

Tout en suivant la methode identique a celle-ci on peut retrouver que la derivée de est sensiblement identique à la fonction

La courbe representative de la fonction (en rouge) et de sa derivée (en bleu) est celle-ci :

Or, la courbe en bleu est definie par

Ainsi, on peut definir (coefficient toujours conservés):

[modifier ( modifier-205-section-8.cours)]Tableau récapitulatif

Fonction	Dérivée

[modifier ( modifier-205-section-10.cours)]Définition

On definit la dérivée d'une fonction polynomiale simple (formé d'une seule puissance de ) par :

Derivee de f(x) = avec

Oula ! Quelle est cette formule barbare ?
C'est la formule ou est la puissance de comme 2 , 3 ,4 ...

Cela permet pour n'importe quel entier positif, de trouver la derivée (même avec les coefficients, bien sur).

[modifier ( modifier-205-section-11.cours)]Tableau recapitulatif

Fonction	Dérivée