Dernière version du 13.10.2007 20h40
Sommaire
1 Limite à l'infini
1.1 Limites finies
1.1.1 Exemple de limite en +∞
1.1.2 Exemple de limite en -∞
1.2 Limites infinies
1.2.1 Exemple en -∞
1.2.2 Exemple en +∞
1.3 Remarques importantes
1.3.1 Limite en -∞ qui valent +∞ et vice versa
1.3.2 Pas de limites à l'infini
2 Conclusion
Prérequis :
- Savoir ce qu'est une fonction, sa courbe représentative, et ce que représente une variable
.
- Connaître la notion de
(+ l'infini) et de
(- l'infini)
Ah ! Les limites en mathématiques......
Non, je sais ce que vous pouvez penser, les mathématiques n'ont pas de limites... 
Pourtant, si. Mais pas au sens restrictif.
On appelle limite en mathématiques la valeur atteinte par la fonction, pour une variable qui tend vers une valeur précise...
Non... ne vous inquiétez pas, les explications vont arriver.
Il faut cependant différencier le cours en 2 parties importantes :
- les limites en
- les limites en une valeur donnée... appellée.... limites en un nombre fini (le cours suivant (
/236-limites-finies--exemples-et-definitions.cours)) 
Enfin, dans chacune de ces parties il faudra distinguer :
- les limites qui valent des nombres finis
- les limites qui valent des valeurs infinies
Allez, c'est parti....
[modifier ( modifier-230-section-1.cours)]Limite à l'infini
On va en fait se demander vers quelle valeur la fonction tend quand
arrive au voisinage de l'infini (
ou
).
[modifier ( modifier-230-section-2.cours)]Limites finies
Alors qu'est-ce qu'une limite finie à l'infini 
? Tout simplement il s'agit de la valeur réelle vers laquelle tend une fonction au fur et à mesure que les valeurs de deviennent très grandes (
) ou très petites (
)
Pour plus de compréhension prenons un exemple de limite finie en .
[modifier ( modifier-230-section-3.cours)]Exemple de limite en +∞
Ici notre courbe C représentative de la fonction , on le voit tend facilement vers une même valeur 5. En effet, pour toute valeur de
très grande, si on prend une valeur plus élevée (
, par exemple), alors l'image de cette nouvelle valeur est plus proche de la limite que l'image de
.
Ainsi cela veut dire, plus facilement, que si on prend ici par exemple, on a
Si on prend un peu plus au dessus , comme , on a
Ainsi on a plus proche de 5 que
. Petit à petit, pour
, très grand, qui croît (qui grandit encore), on a
qui se rapproche de sa limite en
, c'est à dire en l'infiniment grand, ici 5.
Mathématiquement, pour très grand,
, et
("L") la limite de
en
, on a
.
On note (ici
= 5)
[modifier ( modifier-230-section-4.cours)]Exemple de limite en -∞
Pour une limite en , on a la même chose, mais pour
très petit
Et ainsi pour devenant très petit, les images se rapprochent d'une valeur limite
Mathématiquement , pour très petit,
, et
la limite de
en
, on a
On note
[modifier ( modifier-230-section-5.cours)]Limites infinies
C'est ce qu'on retrouve le plus souvent dans les fonctions usuelles.
En fait cela veut dire que, pour qui devient infiniment grand, ou infiniment petit, on a
qui est soit infiniment grand (
) soit infiniment petit (
).
Oui, bon ca fait beaucoup d'infinis, mais c'est vraiment tout simple !!
Allez, comme on ne s'en lasse pas, on va prendre un petit exemple.
[modifier ( modifier-230-section-6.cours)]Exemple en -∞
Intéressons nous à la courbe en . Nous voyons bien que la fonction
tend , pour un
de plus en grand vers les négatifs, vers un nombre toujours plus grand dans les négatifs. On dit qu'elle tend vers
en
. En effet, si on prend un
très grand dans les négatifs, et qu'on prend une autre valeur, encore plus grande dans les négatifs, l'image de cette nouvelle valeur sera plus grande dans les négatifs que l'image de
.
Si on prend ,
.
Et si on prend un plus grand dans les négatifs comme
, on a
On a donc bien , c'est-à-dire que lorsque
décroit (devient plus grand dans les négatifs), on a
qui décroit aussi.
Autrement dit, pour toute valeur , aussi grande dans les négatifs soit-elle, à un moment
.
Mathématiquement, pour tout très grand dans les négatifs, et tout
, on a
.
On note
[modifier ( modifier-230-section-7.cours)]Exemple en +∞
Il se passe la même chose, que l'on peut résumer ainsi :
Dans ce cas-là, on voit que pour , très grand, qui croît (devient plus grand), on a
qui croît aussi (on le voit sur la figure, la courbe monte quand x est très grand).
Autrement dit, pour toute valeur , aussi grande soit-elle, à un moment
.
Mathématiquement, pour tout très grand, et tout
, on a
.
On note
[modifier ( modifier-230-section-8.cours)]Remarques importantes
[modifier ( modifier-230-section-9.cours)]Limite en -∞ qui valent +∞ et vice versa
Il peut y avoir des limites en qui valent
, tout comme des limites en
qui valent
.
On peut donc avoir ou
Par exemple :
- La courbe représentative de la fonction
:
On voit facilement queet
.
- La courbe représentative de la fonction
:
On voit facilement queet que
[modifier ( modifier-230-section-10.cours)]Pas de limites à l'infini
Des fonctions comme (courbe) ou
n'ont pas de limites en
et en
.
En effet, il n'y a pas de valeurs dont se rapproche la fonction, pour très grand ou très petit. De plus la fonction ne tend pas vers un infini, car elle oscille continuellement entre
et
.
Ces fonctions n'ont donc aucune limite en et en
[modifier ( modifier-230-section-11.cours)]Conclusion
- Courbes : Daskoo ( graphique-fonctions.outil), Wikipedia (KmPlot)
- Prochain chapitre à suivre : 2. Limites en un point : exemples et définitions ( 236-limites-finies--exemples-et-definitions.cours).