Dernière version du 13.10.2007 21h09
Sommaire
1 Introduction
2 Limites finies en un point
2.1 Limites finies
2.1.1 Fonction Continue (sans 'sauts')
2.1.2 Fonctions discontinues. Limites à gauche, à droite.
2.2 Limites infinies à gauche, à droite
2.3 Pas de limites en un point
3 Conclusion
[modifier (
modifier-236-section-1.cours)]Introduction
Prérequis :
- Chapitre précédent sur les limites à l'infini ( 230-limite--l-infini--exemples-et-definitions.cours)
- Prérequis du cours précédent : fonctions, variables ,
et
Re-bonjour à tous ! 
Alors, pressé de connaître vos limites ? 
Oui bon , j'ai compris 
...
Bon, rentrons dans le vif du sujet...
Souvenez vous de la différenciation entre 2 parties importantes :
- les limites en
dites... à l'infini (le cours précédent (
/236-limites-finies--exemples-et-definitions.cours)) - les limites en une valeur donnée... appellée.... limites en un nombre fini (ce cours)
Où il fallait distinguer :
- les limites qui valent des nombres finis
- les limites qui valent des valeurs infinies
(eh oui, les joies du copier-coller utile....)
Allez... Let's go !
[modifier ( modifier-236-section-2.cours)]Limites finies en un point
On va se demander en fait, vers quelle valeur, la fonction , par exemple tend, quand
tend vers une valeur finie
[modifier ( modifier-236-section-3.cours)]Limites finies
[modifier ( modifier-236-section-4.cours)]Fonction Continue (sans 'sauts')
Limite finie en un point fini = Image de ce point
Pourquoi ? prenons d'abord un exemple
Ici, au point , on a une image
. Quand on fait varier
de telle sorte que
se rapproche, de plus en plus de
, on remarque que
se rapproche aussi de
.
Cela se résume en disant que tend vers
quand
tend vers
Mathématiquement, on a pour un intervalle donné, aussi petit qu'on veut, et
, on peut trouver un intervalle
dit "de confiance" tel que
On note (ici
, ce qui est logique)
Cependant, l'interet ne se fait surtout que sur les fonctions non continues
.
[modifier ( modifier-236-section-5.cours)]Fonctions discontinues. Limites à gauche, à droite.
On remarque que la courbe n'est pas continue, il y'a comme un "saut", en
Par conséquent, on n'a pas la même valeur à "gauche" (on se rapproche de (car -5 est exclus, (voir ci-contre))), qu'à "droite" (on est à
(car 2 est inclus, (voir ci-contre))). Il nous faut donc séparer, quand on fait varier
pour qu'il se rapproche de
, le cas où
et le cas où
.
Dans le premier cas, on se rapproche de par la gauche. On remarque, que pour
se rapprochant de
par la gauche, on a
qui se rapproche progressivement de
. On dit que
tend vers
quand
tend vers
, par valeur inférieure
Dans le second cas, on se rapproche de par la droite. On remarque, que pour
se rapprochant de
par la droite, on a
qui se rapproche progressivement de
. On dit que
tend vers
quand
tend vers
, par valeur supérieure
Mathématiquement, pour un point donné,( pour lequel
est définie ou non) , toute valeur
, et toute valeur
, dite intervalle de confiance :
- A gauche, si pour
, alors
où
est la limite de
quand
tend vers a, on note
- A droite, si pour
, alors
Ici, . On note aussi
Et, . On note aussi
Remarque : une limite de ce type peut être en un autre point que 0...
[modifier ( modifier-236-section-6.cours)]Limites infinies à gauche, à droite
Tout comme certaines fonctions ont des limites différentes finies au même point, on l'a vu , selon que ce soit une limite par valeur inférieure, ou supérieure ; il en va de même pour les limites infinies.
Le bon exemple est la fonction inverse :
Ici, on voit que, pour se rapprochant de
par la gauche, on a
qui devient de plus en plus petit. On dit que
tend vers
quand
tend vers
par valeur inférieure
Ici, on voit que, pour se rapprochant de
par la droite, on a
qui devient de plus en plus grand. On dit que
tend vers
quand
tend vers
par valeur supérieure
Important : la fonction n'est pas définie en .
Mathématiquement, pour un point donné,( pour lequel
n'est forcément pas défini) , toute valeur
aussi petite qu'on veut:
- A gauche,
- si pour
où
est une valeur aussi grande que possible , on note
- si pour
où
est une valeur aussi petite que possible , on note
- si pour
- A droite,
- si pour
où
- si pour
- si pour
Ici, . On note aussi
Et, . On note aussi
Ici, nous avons traité tous les cas possibles à gauche et à droite : une fonction peut en effet tendre vers à droite et à gauche, par exemple...
Remarque : une limite de ce type peut être en un autre point que 0...
[modifier ( modifier-236-section-7.cours)]Pas de limites en un point
Une fonction peut ne pas avoir de limite en un point.
Ici, on voit bien que en , la fonction n'admet pas de limites (car les valeurs vacillent). C'est le cas pour des fonctions comme
ou
[modifier ( modifier-236-section-8.cours)]Conclusion
Ca va ? Pas trop secoués ? Si vous avez des questions sur ces deux premières parties, contactez Trevize ( 522-Trevize.profil).
Au prochain chapitre !
Prochain chapitre à suivre : 3. Limites de fonctions usuelles ( /237-limites-de-fonctions-usuelles.cours)
(Courbes : Daskoo)