Calculer avec des limites (1/2)

Dernière version du 19.09.2010 19h16

Sommaire

1 Addition de deux fonctions
1.1 Exemple
2 Multiplication de deux fonctions
2.1 Exemples
3 Multiplication par un réel
3.1 Exemple
4 Exercices
4.1 Exercice 1
4.2 Exercice 2
4.3 Exercice 3
4.4 Exercice 4 (assez difficile)
4.5 Exercice 5 (difficile)
5 Correction des exercices
5.1 Exercice 1
5.2 Exercice 2
5.3 Exercice 3
5.4 Exercice 4
5.5 Exercice 5
6 Conclusion

Prérequis : Pas de description

Chapitres précédents sur les limites
Prérequis du cours précédent : fonctions, variables , $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
Connaître les fonctions $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ et leurs limites vues dans le cours précédent

Une limite ça va, mais deux, bonjour les dégâts.
Eh oui, on ne fait pas n'importe quoi avec ces limites-là.

On a en effet vu que les fonctions usuelles ne permettaient que de connaître les limites propres à ces fonctions.

Cependant, comment faire pour trouver les limites de sommes de fonctions , de produits....
Nous allons le voir maintenant.

Mais avant fixons $Formule mathématique$ une fonction qui est définie sur un intervalle $Formule mathématique$ et, qui tend en un endroit quelconque (soit en un point soit à l'infini) vers une limite soit infinie ( $Formule mathématique$ ) , soit finie ( $Formule mathématique$ )

De même fixons $Formule mathématique$ une fonction qui est définie sur un intervalle $Formule mathématique$ et, qui tend en un endroit quelconque (soit en un point soit à l'infini) vers une limite soit infinie ( $Formule mathématique$ ) , soit finie ( $Formule mathématique$ )

[modifier ( modifier-238-section-1.cours)]Addition de deux fonctions

Etablissons un tableau à double entrée, les valeurs des cases correspondant à la limite de la somme $Formule mathématique$
En entrée horizontale, la limite de $Formule mathématique$
En entrée verticale, la limite de $Formule mathématique$

*Limites de l'addition*
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	F.I.
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	F.I.	$Formule mathématique$

où $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont des limites finies.

F.I. : FORME INDETERMINEE , dans ce cas-la, il faut modifier l'expression pour retrouver une forme accessible. $Formule mathématique$ est une forme indeterminée et ne rend pas toujours $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-2.cours)]Exemple

Soient les fonctions $Formule mathématique$ , définie sur $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , définie elle aussi sur $Formule mathématique$

En $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
D'apres le tableau :
$Formule mathématique$

En $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
D'apres le tableau , on a une forme indeterminée, il faudrait factoriser . $Formule mathématique$

C'est pourquoi, nous allons voir l'opération suivante : la multiplication

[modifier ( modifier-238-section-3.cours)]Multiplication de deux fonctions

Etablissons un tableau à double entrée, les valeurs des cases correspondant à la limite du produit $Formule mathématique$
En entrée verticale, la limite de $Formule mathématique$
En entrée horizontale, la limite de $Formule mathématique$

*Limites de la multiplication*
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	F.I.	F.I.
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	F.I.	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	F.I.	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-4.cours)]Exemples

En $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe Soient les fonctions $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ toutes deux définies sur $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe Leurs limites : $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe D'après le tableau : percent_signepercent_signepercent_signe $Formule mathématique$
En $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe Soient les fonctions $Formule mathématique$ , définie sur $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , définie sur $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe Leurs limites : $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe D'après le tableau , on a une forme indeterminée : $Formule mathématique$ , il faudrait développer. percent_signepercent_signepercent_signe Or ici (pour $Formule mathématique$ tres petit donc différent de 0) on voit que $Formule mathématique$ percent_signepercent_signepercent_signe Par conséquent, ici : percent_signepercent_signepercent_signe $Formule mathématique$

Vous le voyez, avec les limites, le but, c'est de bidouiller l'expression, afin d'éviter les formes indeterminées...

[modifier ( modifier-238-section-5.cours)]Multiplication par un réel

On cherche la limite de $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ étant un réel.

*Limites de la multiplication par un réél*
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$
$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$	$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-6.cours)]Exemple

Calculez la limite de $Formule mathématique$ quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$

Ici, $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$
D'après le tableau, on a $Formule mathématique$

Et voila, c'est tout simple !!!

[modifier ( modifier-238-section-7.cours)]Exercices

Bon, puisque vous avez tout compris jusqu'ici , quelques exercices (vous pouvez vous référer aux tableaux).

[modifier ( modifier-238-section-8.cours)]Exercice 1

Calculez la limite de $Formule mathématique$ quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$ , et quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-9.cours)]Exercice 2

Calculez la limite de $Formule mathématique$ quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$ , et quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-10.cours)]Exercice 3

Calculez la limite de $Formule mathématique$ quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$ , et quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$ par valeur supérieure ( $Formule mathématique$ )

[modifier ( modifier-238-section-11.cours)]Exercice 4 (assez difficile)

[modifier ( modifier-238-section-12.cours)]Exercice 5 (difficile)

Calculez la limite de $Formule mathématique$ quand $Formule mathématique$ tend vers $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-13.cours)]Correction des exercices

[modifier ( modifier-238-section-14.cours)]Exercice 1

$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc : $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc : $Formule mathématique$

Remarque : En mathématiques il est interdit, et il est mathématiquement faux d'écrire des multiplications ou des additions comportant $Formule mathématique$ . Il faut donc écrire cela par étapes, avec des mots de liaison (donc, alors, et...)

[modifier ( modifier-238-section-15.cours)]Exercice 2

$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$
$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$

Donc : $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$
$Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$

Donc : $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-238-section-16.cours)]Exercice 3

$Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$

Remarque : ne pas oublier que $Formule mathématique$ où $Formule mathématique$ est un entier, est le produit de $Formule mathématique$ par la fonction inverse

[modifier ( modifier-238-section-17.cours)]Exercice 4

En $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$

Limite de $Formule mathématique$
- $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$
- $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ donc $Formule mathématique$

Donc $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ $Formule mathématique$

$Formule mathématique$

$Formule mathématique$ $Formule mathématique$

En $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$

Limite de $Formule mathématique$
- $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$
- $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$

Donc $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ , or $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ $Formule mathématique$

Remarque : cette démarche est longue et fastidieuse, mais c'est une des solutions adaptées pour démontrer clairement les limites de ces fonctions

[modifier ( modifier-238-section-18.cours)]Exercice 5

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc $Formule mathématique$ est de la forme indeterminée
On pourrait se dire : Ah ! Forme indéterminée, impossible ! Hop, fini !.
Hélas, non.

Il faut factoriser par le terme de plus haut degré.
Ainsi, $Formule mathématique$
Et là tout est plus facile :-° ...

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc $Formule mathématique$

Et $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ $Formule mathématique$

Remarque : Factoriser un polynome par le terme de plus haut degré permet une résolution des problèmes, en réduisant à un réel la limite de la parenthése...

[modifier ( modifier-238-section-19.cours)]Conclusion

Bon... La première partie calculatoire est terminée...
Maintenant nous allons nous attaquer aux quotients et à quelques propriétés importantes sur les limites. Alors, au prochain chapitre !!!

Des questions ? Posez-les à Trevize ( go to /522-Trevize.profil)

Prochain chapitre à suivre : 5. Calculer des limites (2/2) ( /261-calculer-avec-des-limites-22.cours)

Dernière mise à jour: le 19.09.2010 à 20:16
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[modifier ( modifier-238-section-2.cours)]Exemple

[modifier ( modifier-238-section-3.cours)]Multiplication de deux fonctions

[modifier ( modifier-238-section-4.cours)]Exemples

[modifier ( modifier-238-section-5.cours)]Multiplication par un réel

[modifier ( modifier-238-section-6.cours)]Exemple

[modifier ( modifier-238-section-7.cours)]Exercices

[modifier ( modifier-238-section-8.cours)]Exercice 1

[modifier ( modifier-238-section-9.cours)]Exercice 2

[modifier ( modifier-238-section-10.cours)]Exercice 3

[modifier ( modifier-238-section-11.cours)]Exercice 4 (assez difficile)

[modifier ( modifier-238-section-12.cours)]Exercice 5 (difficile)

[modifier ( modifier-238-section-13.cours)]Correction des exercices

[modifier ( modifier-238-section-14.cours)]Exercice 1

[modifier ( modifier-238-section-15.cours)]Exercice 2

[modifier ( modifier-238-section-16.cours)]Exercice 3

[modifier ( modifier-238-section-17.cours)]Exercice 4

[modifier ( modifier-238-section-18.cours)]Exercice 5

[modifier ( modifier-238-section-19.cours)]Conclusion