Fiche Math - Géométrie - Hypoténuse

Hypoténuse
Le plus célèbre de tous les théorèmes de géométrie plane est probablement celui que l'on attribue à Pythagore. Il a été baptisé un jour "Pont aux ânes" et affirme que le carré construit sur le plus grand côté d'un triangle rectangle - côté qu'on appelle hypoténuse- a une aire égale à la somme des aires des carrés construits sur ses deux autres côtés.

Ce théorème a été démontré jusqu'à l'usure par autant de générations d'étudiants. Le nombre de démonstration est très élevé.
Les plus classiques d'entre elles trouvent leur place dans les "Eléments" d'Euclide, un des livres les plus lus, traduits et publiés dans le Monde avec La Bible et Harry Potter.
D'autres démonstrations au nom des mathématiques "modernes" se font sans recourir à la figure géométrique. Des équations aux produits scalaires et produits vectoriels y ont remplacé le crayon et la latte. Pourtant, face à une personne qui ne comprend pas bien un mécanisme, la proposition la plus chaleureuse n'est elle pas précisément de faire un dessin ?
Et puisqu'un petit dessin vaut souvent mieux qu'un long discours mathématique, pourquoi ne pas aller jusqu'au bout du raisonnement et démontrer le théorème de Pythagore sans faire le moindre calcul ? Voici comment faire.
La thèse est valable pour n'importe quel triangle rectangle. L'astuce consiste simplement à le prendre en 8 exemplaires et à les disposer comme indiqué sur les figures.

Ces 2 carrés construits ont des tailles identiques. Si on leur retire tous les triangles rectangles, c'est à dire sur des surfaces égales, les surfaces restantes seront bien sûr aussi égales.
Or, dans le premier cas, on a le carré construit sur l'hypoténuse et dans l'autre la somme des carrés contruits sur les 2 autres côtés...

Pythagore était convaincu que, dans l'univers, toute grandeur pouvait être mesurée par un nombre entier ou par une fraction de 2 nombres entiers. Son propre théorème lui prouva le contraire!
La diagonale d'un carré de côté 1 ne peut en effet pas s'exprimer par une fraction simplifiée a/b. Si c'était le cas, on aurait en effet,
+ = (a/b) et =
a serait donc pair et a aussi. Remplaçons alors a par 2c. Mais cela donne b = 2c et b serait aussi pair. Or, c'est impossible. Puisque a/b a été supposée simplifiée, a et b ne peuvent pas être pairs en même temps. Il paraîtrait que les pythagoriciens décidèrent de garder cette démonstratio secrète ...

Crédits:
Article paru dans le Soir du 23 janvier 2006 "Une approche Créative de 60 concepts mathématiques - Fiche 10" Auteurs : Luc de Brabandere et Christophe Ribesse ( mailto:%63%68%72%69%73%74%6f%70%68%65%2e%72%69%62%65%73%73%65%5f%40%5f%63%61%72%74%6f%6f%6e%62%61%73%65%2e%63%6f%6d)