Dernière version du 03.06.2008 09h19
Sommaire
1 Quotient de limites
1.1 Exemple
2 Composition de fonctions
2.1 Petit rappel
2.2 Limites
2.2.1 Exemple 1
2.2.2 Exemple 2
3 Théorème des gendarmes
3.1 Exemple
4 Conclusion
Prérequis :
- Tous les chapitres précédents et leurs prérequis
- Fonction composée. Notation
Salut à tous !!! Eh oui ça faisait longtemps, je sais, je vous manquais 
Prêt pour attaquer notre deuxième partie calculatoire ... ? Oui ! Je n'en attendais pas moins de vous...
...
Quoi ?
...
Je vous soule ?
Bon, fallait le dire plus tôt !!! 
Allez ! Au boulot
[modifier (
modifier-261-section-1.cours)]Quotient de limites
Etablissons un tableau à double entrée, les valeurs des cases correspondant à la limite du produit
En entrée verticale, la limite de
En entrée horizontale, la limite de
| F.I. | F.I. | |||||
| F.I. | F.I. | |||||
| F.I. | F.I. | |||||
| F.I. | F.I. |
F.I. : FORME INDETERMINEE , dans ce cas-la, il faut modifier l'expression pour retrouver une forme accessible. est une forme indéterminée, tout comme
et ne rend pas toujours
[modifier ( modifier-261-section-2.cours)]Exemple
Déterminez la limite de quand
tend vers
, puis quand
tend vers
par valeur supérieure
Ici ,
- En
et
Donc : d'après le tableau.
- En
et
Donc : d'après le tableau.
N'oubliez pas : En mathématiques il est interdit, et il est mathématiquement faux d'écrire des multiplications ou des additions comportant . Il faut donc écrire cela par étapes, avec des mots de liaison (donc, alors, et...)
[modifier ( modifier-261-section-3.cours)]Composition de fonctions
Une fonction composée, vous savez ce que c'est ? ... Non ? Bon, petit rappel alors
[modifier ( modifier-261-section-4.cours)]Petit rappel
On appelle fonction composée d'une autre en mathématique, toute fonction qui, à une variable associe l'image de cette même variable par la fonction qu'elle compose.... 
On note composée de
par
ou encore
Un exemple pour mieux comprendre :
Exemple :
est une fonction composée de
et de
, et
La variable de est remplacée par l'expression de
, donc
[modifier ( modifier-261-section-5.cours)]Limites
Tout simplement, on définit la limite d'une fonction composée , quand
tend vers
, limite finie, ou infinie, par :
- Pour
, si
; alors
[modifier ( modifier-261-section-6.cours)]Exemple 1
Déterminez la limite quand tend vers
de
On note déjà que avec
et
[modifier ( modifier-261-section-7.cours)]Exemple 2
Déterminez la limite quand tend vers
de
On note déjà que avec
et
car -3<0
[modifier ( modifier-261-section-8.cours)]Théorème des gendarmes
Ce théorème porte bien son nom : il s'agit d'encadrer une fonction, de limite inconnue par deux fonctions ayant la même limite.
Par exemple, si on sait que sur un intervalle contenant la limite ( ou une autre valeur),
, et que
. Alors la limite de
est aussi
quand
tend vers
.
[modifier ( modifier-261-section-9.cours)]Exemple
Déterminez la limite de quand
tend vers
en prouvant que sur
puis que
Il s'agit ici d'encadrer f(x) pour trouver sa limite
La partie concernant l'encadrement est plus difficile car il s'agit d'étudier une fonction.
Nous n'allons pas le faire aujourd'hui. Il s'agirait en fait d'étudier la fonction et de montrer qu'elle est négative.
Enfin, nous avons donc sur
. De plus
sur cet intervalle.
Divisons par ce qui ne change pas l'égalité.
Or, et
Donc, d'après le théorème des gendarmes,
Remarque : ici, on s'intéresse à des nombres très grand (limite en l'infini positif). Donc prendre l'intervalle est intéressant, mais on aurait très bien pu prendre
[modifier ( modifier-261-section-10.cours)]Conclusion
Bon.....enfin finies toutes ces propriétés.....
Alors je vous propose une petite application dans le cours suivant...d'accord..?
Préparez-vous, les monstres que nous allons étudier est et
Des questions ? Posez-les à Trevize ( /522-Trevize.profil).
Prochain chapitre à suivre : 6. Exercices d'application ( /265-exercices-d-application.cours).