Dernière version du 13.10.2007 20h47
Sommaire
1 Étude de la limite de la fonction
1.1 Première étape
1.2 Deuxième étape
1.3 Troisième étape
1.4 Remarque
1.5 Etude du carré de f (facultatif)
1.5.1 Domaine de définition du contenu de la racine
1.5.2 Comparaison entre f et h
2 Étude de la limite d'une autre fonction g
2.1 Changement de variable
2.2 Analyse de l'encadrement donné
2.3 Théorème des gendarmes
2.4 Retour au problème
3 Conclusion
Prérequis :
- Tous les chapitres précédents et leurs prérequis
Allons bon, nous sommes partis pour étudier la limite en de
Allez ! Courage ! C'est facile 
[modifier (
modifier-265-section-1.cours)]Étude de la limite de la fonction
[modifier ( modifier-265-section-2.cours)]Première étape
Il faut commencer par les fonctions composées. En effet, c'est le plus difficile, et ca sera déjà ça de fait. Il ne nous restera plus qu'à faire des opérations après.
, et
, donc
Donc
est une fonction composée de la forme
, où
et
Or, ,
Donc
En multipliant par , on a
: percent_signepercent_signepercent_signequotient de
par
percent_signepercent_signepercent_signeDonc
est une fonction composée de la forme
, où
et
Or, ,
Donc
En multipliant par , on a
est une fonction composée de la forme
, où
et
Or, ,
Donc
En multipliant par , on a
Recapitulatif
[modifier ( modifier-265-section-3.cours)]Deuxième étape
Il s'agit d'additionner, et de multiplier tout ce qui est possible
Donc,
En multipliant par
On a :
[modifier ( modifier-265-section-4.cours)]Troisième étape
On calcule la limite de
est une fonction composée de la forme
, où
et
Or, ,
Donc
DONC
[modifier ( modifier-265-section-5.cours)]Remarque
Il y a une simplification sur le logarithme
La limite en de
étant
, on retrouve
[modifier ( modifier-265-section-6.cours)]Etude du carré de f (facultatif)
[modifier ( modifier-265-section-7.cours)]Domaine de définition du contenu de la racine
On s'intéresse au contenu de la grande racine (après simplification)
On voit que cette fonction n'est définie que si, sous la racine, on a un nombre positif, si, , et si le contenu du logarithme est positif.
Ainsi, il faut que ,ce qui est vrai
Au final on a un système :
Soit
Donc le domaine de définition de est l'intervalle
excluant
Ainsi :
[modifier ( modifier-265-section-8.cours)]Comparaison entre f et h
On remarque que
Ainsi, il est difficile dans ce cas là d'indiquer le Domaine de Définition de . Pourtant nous savons qu'elle est définie quand
tend vers
[modifier ( modifier-265-section-9.cours)]Étude de la limite d'une autre fonction g
Énoncé :
Étudiez la limite en de la fonction
, sachant que
pour tout
[modifier ( modifier-265-section-10.cours)]Changement de variable
Hein ? On va plus prendre ?
Non. En fait on va essayer d'enlever ce qui nous gène, en définissant :
.
ATTENTION : De suite, il faut définir la limite de quand
tend vers la limite désirée (ici
)
Ainsi
Donc, on a pour toute expression ,
On a donc :
[modifier ( modifier-265-section-11.cours)]Analyse de l'encadrement donné
On pourrait redémontrer l'encadrement, mais nous n'avons pas d'outils nécessaires avec ce que l'on a vu. Contentons-nous de l'appliquer
pour
En divisant par des deux côtés (ce qui est possible, et ne change pas le signe car
est strictement positif), on obtient :
pour
C'est bien beau tout ca, mais pour , on fait quoi ?
Eh bien, on regarde si vérifie la condition de l'inégalité. Pour
,
, donc
On peut donc définir l'égalité :
[modifier ( modifier-265-section-12.cours)]Théorème des gendarmes
Eh bien, on a presque fini.
En effet, on sait que
Or . Donc,
On est sur que
[modifier ( modifier-265-section-14.cours)]Conclusion
Alors, pas trop perdu ?
Ces études ne vous tomberont jamais dessus : elles sont trop complexes et inutiles. Mais elles auront le mérite de nous avoir fait cogiter, non ?
Si vous avez des questions, posez-les à Trevize ( 522-Trevize.profil). Sinon, rendez-vous au chapitre suivant ( /266-limites-de-taux-d-accroissement.cours) pour attaquer la notion de taux d'accroissement 
.
Prochain chapitre à suivre : 7. Limites de taux d'accroissement ( /266-limites-de-taux-d-accroissement.cours).