Limites de taux d'accroissement

[modifier ( modifier-266-section-3.cours)]Définition

Alors, au final qu'est-ce que le taux d'accroissement d'une fonction ?
Il s'agit, ni plus, ni point d'un coefficient directeur .
En effet, le taux d'accroissement d'une courbe est difficile à déterminer. Il nous faut passer pour cela par des droites.
Ainsi, le taux d'accroissement sur un intervalle donné, correspond au coefficient de la droite qui passe par les points images des bornes de l'intervalle

Non, non, je ne suis pas sadique

Un exemple permet de mieux comprendre

Sur cette fonction , on va déterminer l'intervalle de longueur , qui correspond à l'intervalle

On va prendre les points de cette abscisse sur la courbe (d'abscisse en rouge , d'abscisse en bleu)
Ces points, ont pour ordonnées respectives : en rouge et en bleu
Ainsi l'intervalle "parcouru" par la fonction durant l'intervalle , est l'intervalle ,

Ainsi, le coefficient directeur de la droite reliant ces deux points, est le taux d'accroissement de la fonction sur cet intervalle. Il correspond à

ATTENTION : on définit comme une longueur algébrique, c'est-a-dire positive ou négative ! Ainsi l'intervalle peut être inversé ( si )

[modifier ( modifier-266-section-4.cours)]Variante

On peut définir aussi le taux d'accroissement sur un intervalle , de la même manière, par , ce qui correspond à la même chose, on fixe un , et un , et on a le taux d'accroissement sur

[modifier ( modifier-266-section-5.cours)]Application

Déterminez le taux d'accroissement de sur ]5;6].

Prenons, par exemple la première formule :
Ainsi.

Remarque : On voit ici que est positif, on peut se douter alors que la fonction est croissante, car le taux d'accroissement est positif. Cette définition sera une des caractéristiques des dérivées (nous le reverrons plus tard)

[modifier ( modifier-266-section-7.cours)]Limite du taux d'accroissement

C'est super tout ça, mais quel rapport avec les limites ?

Ca arrive, ça arrive...
En fait, pour le moment, on n'a réussi qu'à faire des taux d'accroissements sur un intervalle donné. Mais, il est possible de le faire sur un seul point.

C'est ca, une courbe qui croît en un point...

Eh oui. Cela nous permet en fait dans d'autres sciences (physique et biologie surtout) de connaitre une "croissance instantanée", comme la vitesse instantanée d'une voiture par exemple.

Alors, comment procéder ? En fait c'est simple. Le mieux est d'utiliser la première formule du taux d'accroissement.

Maintenant, si on diminue le , de manière à le faire tendre vers un intervalle le plus petit possible, on aura un intervalle en un point, celui d'abscisse .

Ainsi, la croissance instantanée de au point est définie par :

On appelle cette valeur de croissance, le nombre dérivé de . Dès lors que l'on trouve une valeur, on peut considérer que la fonction est dérivable en ce point.
On la note de différentes manières.

• Notation de Lagrange :
• Notation de Leibniz :

En mathématiques la première solution est préférée.

[modifier ( modifier-266-section-8.cours)]Variante

Identiquement, avec la seconde formule :

Remarque : Il est important de connaitre les deux variantes.

[modifier ( modifier-266-section-9.cours)]Tangente

On peut quand même tracer une droite caractérisée par un coefficient directeur, en un point. C'est la tangente à la courbe en ce point.
Son coefficient directeur est le nombre dérivé.

L'équation de cette tangente s'écrit :

A droite, une tangente.

[modifier ( modifier-266-section-10.cours)]Exemple

Déterminez si est dérivable en 3, et déterminez

Ainsi
Donc est dérivable en 3, et .

[modifier ( modifier-266-section-11.cours)]Remarques

Nous généraliserons plus volontiers la notion de dérivation dans un autre cours. En effet, on peut trouver une formule dérivée, car nous l'avons vu, la dérivée varie avec la variable (car le taux d'accroissement varie).
Ainsi, nous aurons le loisir de déterminer des formes , définissant ainsi une dérivée pour tout selon une formule globale.