Méthode de Newton

Cet exposé est un complément aux suites étudiées en Première scientifique, et suppose que l'on connaît déjà la dérivation des fonctions.

[modifier ( modifier-339-section-1.cours)]Définition et méthode

On voudrait résoudre une équation de forme , mais il n'existe pas de procédé algébrique ou analytique pour la résoudre.
Si l'on sait à peu près localiser une solution, soit a un réel proche de cette solution.
On peut supposer que a soit assez proche de la solution cherchée pour que la tangente à la courbe ne soit pas trop différente de la courbe elle-même. Cette tangente coupe donc la droite (Ox) en un point proche, ou très proche, de la solution cherchée.
L'équation de la tangente à au point d'abscisse a s'écrit

L'abscisse du point d'intersection de l'axe avec la tangente s'obtient en annulant dans l'équation de cette tangente :

ce qui donne

et est en général une approximation de la solution cherchée bien meilleure que a.
Construisons donc une suite de la manière suivante :


Cette suite est facile à programmer avec une calculatrice
On trouve la solution en très peu d'itérations, en général.

[modifier ( modifier-339-section-2.cours)]Exemple

Exemple, pour résoudre l'équation , on considère la fonction
et l'on construit la suite définie par

On obtient avec une calculette programmable

(la suite converge très vite, 6 décimales stables en 4 itérations )