Preuve de la limite de (sin x)/x en x = 0 et applications

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Considérons le cercle trigonométrique, et un angle x compris strictement entre 0 et .
L'angle est représenté par un point M de ce cercle, situé dans le 1er quadrant (celui correspondant à ).
Soit le point origine des angles sur le cercle. Soit le point d'intersection de avec la droite d'équation .
On peut écrire la suite d'inégalités :
Aire du triangle aire du secteur de disque aire du triangle .
(Le secteur de disque est la "part de fromage" correspondant à un angle compris entre 0 et ).
Or l'aire du triangle est
L'aire du disque tout entier est , donc celle du secteur est la partie du disque, soit
L'aire du triangle est
En tout, cela donne
 ; comme , on peut tout diviser par , ce qui donne

Lorsque tend vers 0, tend vers 1. Le membre du milieu tend donc vers 1. On peut écrire (en considérant son inverse) :

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