Dernière version du 26.03.2008 16h24
Sommaire
1 Question à résoudre
2 Méthode proposée
2.1 Premier exemple
2.2 Deuxième exemple
2.2.1 Encore mieux
3 Ce qu'on aurait fait sinon...
3.1 Premier exemple
3.2 Deuxième exemple
[modifier (
modifier-342-section-1.cours)]Question à résoudre
On demande souvent de mettre, par exemple, l'expression sous la forme
,
ou de mettre, par exemple, l'expression sous la forme
.
La réponse est un peu fastidieuse : on doit mettre (dans le premier exemple) sous la forme d'une fraction, puis identifier cette dernière à
en résolvant un système d'équations dont
est la solution. Idem pour le deuxième exemple, le système d'équations étant à 3 inconnues
.
[modifier ( modifier-342-section-2.cours)]Méthode proposée
Nous la montrerons par l'exemple, cela suffira :
[modifier ( modifier-342-section-3.cours)]Premier exemple
Ecrivons .
La mise en éléments simples est terminée ! Il a suffi de faire apparaître , qui est multiple de
, exactement le triple de
, ce qui donne le quotient 3.
[modifier ( modifier-342-section-4.cours)]Deuxième exemple
Ecrivons
En effet, on a fait apparaître qui est multiple de
, et même exactement
, ce qui donne le quotient
.
Ensuite, il suffit de remarquer que , ce qui donne
qui est la forme réduite en éléments simples cherchée.
[modifier ( modifier-342-section-5.cours)]Encore mieux
On aurait pu écrire d'emblée
.
Il suffit de s'être un peu entraîné, pour le faire avec aisance.
[modifier ( modifier-342-section-6.cours)]Ce qu'on aurait fait sinon...
[modifier ( modifier-342-section-7.cours)]Premier exemple
En identifiant avec :
d'où
On obtient alors
[modifier ( modifier-342-section-8.cours)]Deuxième exemple
Identifions avec :
Or
et
D'où, finalement
On voit que c'est plus long que notre méthode proposée ici !
Cas plus difficiles
Jusqu'ici, nous avons eu un avec un coefficient 1 au dénominateur. Si ce n'est plus le cas, le calcul risque de devenir plus difficile.
Qu'à cela ne tienne, on peut faire apparaître une expression où le du dénominateur a effectivement le coefficient 1 :
Exemple
Réduire en éléments simples la fonction rationnelle définie par
Ecrivons simplement
Un peu d'entraînement permet d'écrire facilement et sans risque
Ce qui est le résultat désiré.