Comparer deux réels équivaut à comparer leurs cubes (ou leurs racines cubiques)

[modifier ( modifier-345-section-1.cours)]Comparer des cubes ou des racines cubiques

Nous allons montrer que comparer deux nombres réels quelconques et équivaut à comparer leurs cubes et , ou à comparer leurs racines cubiques et :

Preuve :
Considérons la différence

Utilisons l'importante "identité remarquable améliorée"

qui permet d'écrire

On obtient une somme de deux carrés. Celle-ci est positive, et ne peut s'annuler que si chaque carré s'annule individuellement, soit

et

ce qui signifie clairement
et
Conclusion, à moins que , on aura toujours

(sinon et )
On en déduit que et sont toujours de même signe (le cas n'est pas gênant, les signes étant 0).
Ce qui démontre l'importante propriété.