Dernière version du 27.03.2008 14h33
Sommaire
1 Une formule "magique"
1.1 Factorisations
1.2 Minima et maxima de certaines expressions
1.3 Tracé de courbes représentant des trinômes du second degré
1.4 Signes d'expressions
[modifier (
modifier-346-section-1.cours)]Une formule "magique"
Tous les élèves sortant de Collège connaissent
et
En fait, ces deux "identités remarquables" ne sont qu'une seule et même formule, elles ont même une troisième formulation, en vérité la plus intéressante de toutes, que j'appellerai "la formule magique" :
Preuve :
Dans (1), posons et
On obtient
En simplifiant et faisant passer un terme dans l'autre membre, on obtient bien (3).
Autre preuve :
Dans (2), poser et
.
On obtient )
Applications
[modifier ( modifier-346-section-2.cours)]Factorisations
Par exemple, on peut (eh oui 
) factoriser
En appliquant la formule "magique" avec , on trouve
Mais alors
Un vrai miracle, non ? 
[modifier ( modifier-346-section-3.cours)]Minima et maxima de certaines expressions
L'expression est clairement la somme de deux nombres, l'un de valeur fixe : ,
et l'autre, un carré, de valeur variable entre 0 et .
Donc présente un minimum de valeur
, ce minimum étant atteint lorsque
, soit pour
.
[modifier ( modifier-346-section-4.cours)]Tracé de courbes représentant des trinômes du second degré
Reprenons l'exemple .
Nous venons de voir que f(x) atteint une valeur minimale, , lorsque
.
On trace donc une parabole de sommet .
Comme , la parabole passe également par le point
sur l'axe
.
Comme la parabole a un axe de symétrie vertical passant par , on a également un point
symétrique de
par rapport à cet axe.
Le tracé de la parabole d'équation est donc d'une simplicité enfantine.
[modifier ( modifier-346-section-5.cours)]Signes d'expressions
En factorisant des expressions du second degré, on obtient des expressions du premier degré dont le signe est évident. Puis à l'aide d'un tableau de signes ou de la seule règle des signes, on trouve le signe de l'expression qui est le produit de ces deux expressions du premier degré.
En fait, en Première, on apprendra à faire mieux : un trinôme est du signe de
à l'extérieur de ses racines
et du signe contraire entre ses racines.
Il y a d'autres applications, je vous laisse le plaisir de découvrir ces richesses que recèle une formule si simple, si petite !
