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Sommaire
1 Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul)
1.1 Rappels
1.1.1 Formule de l'aire d'un triangle
1.1.2 Formule d'Al Kashi
1.2 Preuve de la Formule de Héron
[modifier (
modifier-349-section-1.cours)]Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul)
Enoncé :
L'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont est, en posant
(demi-périmètre) :
[modifier ( modifier-349-section-2.cours)]Rappels
[modifier ( modifier-349-section-3.cours)]Formule de l'aire d'un triangle
Soit un triangle . Si l'on pose
,
, etc., l'aire du triangle est
soit encore
ou
Preuve : immédiate. On utilise la formule :
et la hauteur relative au sommet se calcule avec le sinus de
.
[modifier ( modifier-349-section-4.cours)]Formule d'Al Kashi
Soit un triangle avec les mêmes notations que plus haut. On a
et donc aussi
Preuve : définition du cosinus, du sinus, et un peu d'identités remarquables. On trace une hauteur, pour utiliser les rapports trigonométriques.
[modifier ( modifier-349-section-5.cours)]Preuve de la Formule de Héron
D'après Al Kashi, on peut tirer de
la valeur de :
Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc
On peut écrire
, et
soit :
Or l'aire du triangle vaut
Or ;
;
Donc
soit finalement
.
