Dernière version du 27.03.2008 03h08
[modifier (
modifier-351-section-1.cours)]Formule d'Al Kashi
Elle généralise la formule de Pythagore (valable pour les triangles rectangles) à tous les triangles.
[modifier ( modifier-351-section-2.cours)]Preuve élémentaire
(demande quand même la connaissance de l'identité remarquable )
Considérons un triangle quelconque ,
la hauteur issue de
.
Posons ,
et
.
On peut écrire
.
Or
(conseil : apprendre la formule
plutôt sous la forme
)
soit
et
Quant à , il vaut
En tout,
.
Ce qui démontre la formule (on peut considérer aussi le cas de figure où tombe à l'extérieur de
, et l'on obtient le même résultat) :
Comme n'a aucune raison d'être privilégié parmi les trois angles, on obtient aussi
.
[modifier ( modifier-351-section-3.cours)]Preuve par le produit scalaire
On peut écrire
Egalons les carrés scalaires des deux membres :
ce qui se traduit par
.
