Equation du cercle dans le plan muni d'un repère orthonormal

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Soit un cercle de centre , les coordonnées étant définies dans un repère orthonormal donné.
L'équation du cercle de centre et de rayon , noté , est tout simplement la relation concernant les coordonnées d'un point quelconque appartenant au cercle.
Or

(en effet, comparer deux réels positifs équivaut à comparer leurs carrés)
Or on peut considérer un triangle rectangle d'hypoténuse dont les deux autres côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Les longueurs des côtés de l'angle droit sont et .
Le théorème de Pythagore permet d'affirmer

soit

(le carré de la valeur absolue d'un nombre, c'est le carré de ce nombre)
C'est l'équation du cercle de centre et de rayon .
Cette équation est de la forme

A partir de cette forme, on peut retrouver le centre et le rayon en utilisant la "formule magique" :

Cette équation s'écrit

Donc c'est bien l'équation d'un cercle de rayon ,
si l'on vérifie