Mise en équation de l'ellipse (excellent exercice de calcul)

Dernière version du 27.03.2008 17h52

Sommaire

1 Mise en équation de l'ellipse (excellent exercice de calcul)
1.1 Définition bifocale de l'ellipse
1.2 Mise en équation
1.2.1 Vérification

[modifier ( modifier-356-section-1.cours)]Mise en équation de l'ellipse (excellent exercice de calcul)

[modifier ( modifier-356-section-2.cours)]Définition bifocale de l'ellipse

Soient deux points $Formule mathématique$ distincts, qu'on appellera foyers de l'ellipse.
On se donne une longueur $Formule mathématique$ telle que $Formule mathématique$ .
On définit l'ellipse $Formule mathématique$ de grand axe $Formule mathématique$ et de foyers $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , l'ensemble des points $Formule mathématique$ du plan tels que
$Formule mathématique$
Ainsi, il est facile de tracer physiquement une ellipse : on plante deux clous en $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , on attache une ficelle de longueur $Formule mathématique$ chaque extrémité à un des clous, et on tend la ficelle avec le bout d'un crayon. Le crayon décrit ainsi l'ellipse $Formule mathématique$ .

[modifier ( modifier-356-section-3.cours)]Mise en équation

Posons $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ . Ces coordonnées sont relatives à un repère orthonormal.
On remarque que $Formule mathématique$ .
On a
$Formule mathématique$ et
$Formule mathématique$
L'équation de l'ellipse est donc
$Formule mathématique$
Comparer deux réels positifs équivaut à comparer leurs carrés, donc l'équation s'écrit aussi
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
L'égalité de deux réels positifs étant équivalente à celle de leurs carrés, l'équation s'écrit
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ce qui se simplifie immédiatement en
$Formule mathématique$
Rassemblons les $Formule mathématique$ et réservons le second membre aux constantes :
$Formule mathématique$
Finalement, divisons tout par $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Comme $Formule mathématique$ , on a aussi $Formule mathématique$ , aussi, posons
$Formule mathématique$ ; l'équation devient :
$Formule mathématique$
C'est l'équation réduite de l'ellipse.
On appelle $Formule mathématique$ le petit axe de l'ellipse.
Ainsi $Formule mathématique$ est le demi-grand axe et $Formule mathématique$ est le demi-petit axe de l'ellipse $Formule mathématique$ .
Pour tracer l'ellipse d'après cette équation, on peut remarquer que pour $Formule mathématique$ , on a $Formule mathématique$ et que
pour $Formule mathématique$ , on a $Formule mathématique$ .

[modifier ( modifier-356-section-4.cours)]Vérification

Avec n'importe quelle calculette graphique, on peut d'abord mettre l'équation de l'ellipse sous la forme
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
Dans le mode GRAPH de la calculette, taper
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
et la calculette vous trace l'ellipse sans problème.

Dernière mise à jour: le 27.03.2008 à 18:52
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