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Sommaire
1 Cinématique (1)
1.1 Référentiels et repères
1.1.1 Mouvement d'un corps ponctuel
1.2 Trajectoire
1.3 Vitesse
1.4 Accélération
[modifier (
modifier-358-section-1.cours)]Cinématique (1)
La cinématique est la description du mouvement, elle utilise principalement la géométrie analytique et l'analyse mathématique (calcul différentiel et intégral) pour cette description.
[modifier ( modifier-358-section-2.cours)]Référentiels et repères
Un référentiel, on l'admettra, est un solide pouvant servir de système de référence par rapport auquel observer, ou décrire, le mouvement d'un corps, d'un système physique.
Ici, cela revient à se donner un repère bidimensionnel pour étudier un mouvement plan, ou un repère tridimensionnel pour étudier un mouvement dans l'espace.
Soit donc un repère , que nous prendrons a priori orthogonal, muni de vecteurs de base
normés à 1 (repère orthonormal) :
,
.
[modifier ( modifier-358-section-3.cours)]Mouvement d'un corps ponctuel
Ce corps est repéré par un seul point de l'espace : à tout instant , on fait correspondre un point
, autrement dit, trois coordonnées dans le repère
,
0n peut donc dire que (pour un mouvement d'un corps ponctuel dans l'espace), le mouvement est décrit par trois fonctions de variable réelle
Traditionnellement, on dit que les trois équations
sont les équations horaires du mouvement. (attention,
désigne l'abscisse du mobile
, alors que
désigne son expression en fonction de
, etc.)
Bien sûr, un corps ponctuel se déplaçant sur une courbe fixée à l'avance n'aura qu'une coordonnée, qu'on peut appeler (notation traditionnelle pour abscisse curviligne - nous y reviendrons) ;
et un corps ponctuel se déplaçant sur une surface fixée à l'avance n'aura que deux coordonnées, par exemple et
, ou si l'on veut d'autres coordonées que les coordonnées cartésiennes, soit
par exemple.
[modifier ( modifier-358-section-4.cours)]Trajectoire
Toujours vue d'un référentiel donné, la trajectoire d'un mobile ponctuel est l'ensemble des points successivement occupés par ce mobile au cours du mouvement, au cours du temps, donc.
Par exemple,
(1) pour le mouvement défini par
La trajectoire est une droite ou une portion de droite : en effet, , donc
Ainsi, la trajectoire est au moins une partie de la droite d'équation
(elle serait cette droite même si le mouvement avait lieu de à
)
(2) Pour le mouvement défini par
On voit que
La trajectoire est donc au moins une partie du cercle de centre et de rayon 5.
[modifier ( modifier-358-section-5.cours)]Vitesse
Vitesse moyenne entre deux instants
Considérons deux instants et
, en supposant
.
Du premier au deuxième instant, le mobile s'est déplacé de
On appellera vitesse moyenne du mobile entre les instants et
le rapport
, soit
(Vitesse = Déplacement par unité de temps)
Attention, ceci est un abus de notation pour les mathématiciens, qui ont défini la multiplication d'un vecteur par un réel, mais non la division !
Mais on assimilera ici
à
Vitesse réelle à un instant
La notion de vitesse moyenne n'est ni précise ni pratique, à part la simplicité de l'observation du mobile à deux instants précis.
On peut se ramener à un seul instant, en considérant deux instants infiniment proches, ou plus exactement, en cherchant la limite de pour
.
On obtient la vitesse réelle (du point de vue du référentiel considéré !) du mobile à l'instant :
Formellement, cela veut dire exactement que la fonction est la dérivée par rapport à la variable
(on dit : dérivée par rapport au temps) de la fonction
.
On écrit cela :
Mais comme
,
(les vecteurs sont fixes dans le référentiel, et n'ont pas à être dérivés)
On notera désormais la dérivation par rapport au temps.
On note souvent (en Mécanique) la dérivée de
par rapport au temps, etc., ce qui donne
Exemple :
Soit un mouvement plan, d'équations horaires
Son vecteur vitesse est , avec
à chaque instant .
[modifier ( modifier-358-section-6.cours)]Accélération
De la même manière, on peut définir l'accélération moyenne entre les instants et
par
(variation de vitesse par unité de temps)
et l'accélération réelle (mesurée dans le référentiel considéré !) par
Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, et si ses coordonnées sont notées , on aura
( désigne la dérivée seconde de
par rapport au temps)
On note aussi
Exemple
Soit un mouvement plan d'équations horaires
Son vecteur vitesse a pour coordonnées
et son accélération a pour coordonnées
Détermination d'un mouvement connaissant les accélérations et les conditions initiales de position et de vitesse
Nous verrons que la connaissance des accélérations équivaut à la connaissance des forces appliquées sur le mobile (à cause de la loi fondamentale de la dynamique, , où
est l'impulsion (ou quantité de mouvement) du mobile, et
est l'accélération du mobile dans le référentiel.
Si l'on connaît l'accélération, c'est-à-dire 3 fonctions du temps
et si l'on connaît, mettons et
, vitesse et position du mobile à l'instant initial (ici 0), alors
(ou, ce qui revient au même, est une primitive par rapport au temps de
prenant la valeur v_x(0) en
)
On peut remonter à la position en écrivant
(ou, ce qui revient au même, est une primitive par rapport au temps de
prenant la valeur x(0) à
)
Idem pour les autres coordonnées selon ou
.
Exemple
Soit un mouvement plan dont l'accélération est définie par
et dont la position à l'instant 0 est , et la vitesse à l'instant 0 est
,
,
.
Trouver sa vitesse et sa position en fonction du temps.
Vecteur vitesse : on intègre les coordoonnées de l'accélération, et l'on tient compte de la vitesse initiale :
, où
est une constante à déterminer.
En t = 0, on .
Donc est entièrement déterminé :
où
est une constante à déterminer.
En , on a
, donc on a
, donc
et est entièrement déterminé :
De même
, où
est une constante à déterminer.
A ,
, donc
.
On obtient
Cherchons à présent les positions :
où sont des constantes à déterminer.
Au vu des conditions initiales :
d'où