Dernière version du 26.10.2008 17h13
Sommaire
1 Approximation au premier ordre
1.1 Rappels
1.2 Approximation au premier ordre
1.3 Approximation des fonctions usuelles
1.3.1 Application à quelques calculs simples
[modifier (
modifier-359-section-1.cours)]Approximation au premier ordre
[modifier ( modifier-359-section-2.cours)]Rappels
On définit la dérivée d'une fonction au point
, si elle existe, par
Or cette définition peut aussi s'écrire
avec
(cela veut dire simplement que pour tendant vers 0,
tend à se confondre avec
, leur différence à disparaître)
On peut aussi écrire
ou
[modifier ( modifier-359-section-3.cours)]Approximation au premier ordre
Or et
sont considérés comme petits, sinon très petits. Si c'est bien le cas, leur produit
est encore plus petit.
La dernière formule affirme donc que
est une bonne ou même excellente approximation de
(d'autant meilleure que
est plus proche de 0).
[modifier ( modifier-359-section-4.cours)]Approximation des fonctions usuelles
En appliquant ce résultat, on obtient (pour suffisamment proche de 0) :
et en général, pour entier positif ou négatif, et fractionnaire (en Terminale, on verra que cela reste valable pour
) :
En particulier, pour :
Pour :
Pour :
On peut continuer avec des exposants fractionnaires, ainsi
[modifier ( modifier-359-section-5.cours)]Application à quelques calculs simples
Par exemple,
(la vraie valeur est )
Or
et
En tout, on obtient
(la vraie valeur est )
(la vraie valeur est )
En fait, c'est surtout utile pour trouver rapidement certaines limites :