Dernière version du 15.04.2008 00h59
Sommaire
1 Déterminants d'ordre 2
2 Résolution d'un système de Cramer d'ordre 2, de déterminant non nul
2.1 Conclusion
2.2 Exemple
Nous allons mettre au point une méthode pour résoudre quasi-instantanément l'immense majorité des systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues.
Nous conviendrons d'écrire ces systèmes (appelés systèmes de Cramer d'ordre 2) sous forme
(les en "première colonne", les
en "deuxième colonne", et les constantes au second membre)
[modifier (
modifier-360-section-1.cours)]Déterminants d'ordre 2
Définissons les déterminants d'ordre 2 par
[modifier ( modifier-360-section-2.cours)]Résolution d'un système de Cramer d'ordre 2, de déterminant non nul
On appellera déterminant du système (1) le nombre
Supposons que .
Multiplions les deux membres de la première équation par et les deux membres de la deuxième équation par
: on obtient le système, conséquence de (1) :
En soustrayant les équations obtenues membre à membre, on obtient
et comme , on obtient
Reprenons (1), multiplions à présent la première équation par et la seconde par
: on obtient le système, conséquence de (1) :
Soustrayons les deux équations obtenues (2e - 1ère) : on obtient
,
soit
[modifier ( modifier-360-section-3.cours)]Conclusion
Si le système (1) a un déterminant non nul, il admet une solution unique qui s'écrit
(recette : pour obtenir , on remplace la première colonne de
par
, et pour obtenir
, on remplace la deuxième colonne par
).
[modifier ( modifier-360-section-4.cours)]Exemple
Soit à résoudre le système
Il est clair que le déterminant est non nul, car sinon les coefficients de et
seraient proportionnels dans les deux équations...
Ce déterminant vaut d'ailleurs :
On a donc la solution unique :
soit
... en un temps record !
