Calcul de certaines intégrales en évitant plusieurs intégrations par parties

[modifier ( modifier-362-section-2.cours)]Position du problème

1. Une intégrale de forme
ou
peut s'intégrer par parties, car en posant , on se ramène à , et il ne reste plus que l'intégrale (évidente) de l'exponentielle à calculer :


2. Par contre, une intégrale de forme

exigerait deux intégrations par parties successives, la première permettant de remplacer par , et la deuxième de remplacer par la constante .

On peut avoir à intégrer , où est un polynôme de degré quelconque. Il n'est plus question d'entreprendre une succession d'intégrations par parties, ce serait fastidieux.

[modifier ( modifier-362-section-3.cours)]Une méthode bien pratique et facile

On peut toujours poser, pour les primitives de , une fonction de forme , avec de même degré que .
En écrivant , on détermine les coefficients de , et le calcul de l'intégrale s'achève de manière évidente.
Dans l'autre cas, pour les primitives de ,on peut poser , où et sont des polynômes de même degré que .