Initiation à l'équation du troisième degré (accessible dès la Première S)

Dernière version du 30.04.2008 21h08

Sommaire

1 Initiation à l'équation du troisième degré
1.1 Forme simplifiée de toute équation du troisième degré
1.2 Méthode de Cardan
1.3 Exemple

[modifier ( modifier-363-section-1.cours)]Initiation à l'équation du troisième degré

[modifier ( modifier-363-section-2.cours)]Forme simplifiée de toute équation du troisième degré

D'abord, nous appelons équation du troisième degré toute équation de forme
$Formule mathématique$
où $Formule mathématique$
Montrons que cette équation se met toujours sous la forme simplifiée
$Formule mathématique$
avec $Formule mathématique$ , le réel $Formule mathématique$ étant judicieusement choisi.
En effet, (1) s'écrit
$Formule mathématique$
et il suffit d'annuler le coefficient de $Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$
En divisant les deux membres par $Formule mathématique$ qui est non nul, on obtient (2).

[modifier ( modifier-363-section-3.cours)]Méthode de Cardan

Elle permet de résoudre une grande partie des équations du troisième degré, à coefficients réels ou complexes.
Posons dans (2), $Formule mathématique$
(2) s'écrit
$Formule mathématique$
L'astuce consiste à annuler $Formule mathématique$ , ce qui donne le système
$Formule mathématique$
Comme "comparer deux réels quelconques équivaut à comparer leurs cubes ou leurs racines cubiques", ce système s'écrit également
$Formule mathématique$
Ainsi donc, $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont solutions de l'équation du second degré (d'inconnue $Formule mathématique$ )
$Formule mathématique$
Ici, nous nous intéresserons surtout au cas où le discriminant $Formule mathématique$ , ce qui revient à
$Formule mathématique$
(Un bon élève de Terminale scientifique peut traiter le cas $Formule mathématique$ avec les nombres complexes, en terminant par les racines cubiques d'un nombre complexe)
Une fois $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ obtenus, on prend leurs racines carrées, et une solution réelle (en $Formule mathématique$ ) est $Formule mathématique$ = la somme des racines cubiques de $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .
On peut terminer la résolution de l'équation en divisant $Formule mathématique$ par $Formule mathématique$
La solution en $Formule mathématique$ est bien sûr $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-363-section-4.cours)]Exemple

Soit l'équation
$Formule mathématique$
Posons $Formule mathématique$ (voir plus haut). L'équation (3) s'écrit
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
Posons $Formule mathématique$ ; (4) s'écrit
$Formule mathématique$
On choisit d'annuler $Formule mathématique$ , c'est-à-dire de poser $Formule mathématique$
L'équation (4) devient le système
$Formule mathématique$
ou (voir plus haut)
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont donc solutions de l'équation du second degré (d'inconnue $Formule mathématique$ )
$Formule mathématique$
de discriminant $Formule mathématique$
Donc
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Finalement,
$Formule mathématique$
On vérifie que l'équation (4) n'a pas d'autre solution, la courbe représentant $Formule mathématique$ ne coupant l'axe des abscisses qu'en un point.
On a donc l'unique solution réelle
$Formule mathématique$

Dernière mise à jour: le 30.04.2008 à 22:08
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