Définition géométrique de l'hyperbole, équation réduite et équation rapportée aux asymptotes (excellent exercice de calcul et de géométrie analytique)

Dernière version du 30.03.2008 21h34

Sommaire

1 Définition géométrique de l'hyperbole, équation réduite et équation rapportée aux asymptotes
1.1 Définition géométrique de l'hyperbole
1.2 Mise en équations (équation réduite)
1.3 Equation de l'hyperbole ramenée à ses asymptotes

[modifier ( modifier-366-section-1.cours)]Définition géométrique de l'hyperbole, équation réduite et équation rapportée aux asymptotes

[modifier ( modifier-366-section-2.cours)]Définition géométrique de l'hyperbole

C'est "la" définition de l'hyperbole :
Soient deux points distincts $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .
Soit un nombre réel $Formule mathématique$ tel que $Formule mathématique$ .
Une hyperbole $Formule mathématique$ est définie par
$Formule mathématique$
(ainsi, l'inégalité triangulaire est vérifiée : $Formule mathématique$ )
L'hyperbole $Formule mathématique$ est l'ensemble des points du plan tels que la différence de ses distances à $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ est constante (en valeur absolue).

[modifier ( modifier-366-section-3.cours)]Mise en équations (équation réduite)

Choisissons $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ dans un repère orthonormal $Formule mathématique$ ).
L'équation de l'hyperbole $Formule mathématique$ est
$Formule mathématique$
et $Formule mathématique$ s'écrit $Formule mathématique$ .
Or, comparer deux nombres positifs (ou nuls) équivaut à comparer leurs carrés, donc cette équation s'écrit :
$Formule mathématique$
ou, en isolant la racine carrée :
$Formule mathématique$
Encore une fois, comparer deux réels positifs revient à comparer leurs carrés (on a développé sous la racine carrée) :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ce qui se simplifie immédiatement en
$Formule mathématique$
ou, en rassemblant les $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Puisque $Formule mathématique$ , on a également $Formule mathématique$ ; on peut poser $Formule mathématique$
et l'équation de $Formule mathématique$ devient
$Formule mathématique$
ou mieux,
$Formule mathématique$
(c'est l' équation réduite de l'hyperbole $Formule mathématique$ ).

[modifier ( modifier-366-section-4.cours)]Equation de l'hyperbole ramenée à ses asymptotes

D'abord, les asymptotes sont les droites $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
En effet,
$Formule mathématique$
et au voisinage de $Formule mathématique$ , l'hyperbole est aussi proche qu'on veut de $Formule mathématique$ .
Définissons un nouveau repère $Formule mathématique$ dont les axes de coordonnées sont $Formule mathématique$ :
Pour cela, il suffit de prendre $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
(on rappelle que le coefficient directeur $Formule mathématique$ d'une droite est défini par le fait que "si j'avance de 1 vers la droite, je monte de $Formule mathématique$ ";
On a pour tout point $Formule mathématique$ du plan, si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
ou encore
$Formule mathématique$ ,
ce qui s'écrit
$Formule mathématique$
On a donc
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ou simplement :
$Formule mathématique$
On reconnaît facilement
$Formule mathématique$
de forme $Formule mathématique$ , "hyperbole" vue en Seconde dans l'étude de la fonction "inverse".

Dernière mise à jour: le 30.03.2008 à 22:34
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