Une introduction facile mais exacte à la relativité restreinte (1)

[modifier ( modifier-367-section-2.cours)]Expérience de Michelson et Morley

Pour résumer, cette expérience était destinée à mesurer la vitesse de la Terre par rapport à l'éther, milieu constituant l'espace et support des ondes lumineuses (et plus généralement électromagnétiques).
Imaginons que la Terre se déplace de la gauche vers la droite dans l'éther : la lumière venant de la droite devrait la frapper avec une plus grande vitesse que la lumière venant de la gauche.
Le montage expérimental de Michelson et Morley devait mettre en évidence une telle différence de vitesse.
Or l'expérience n'a rigoureusement détecté aucune vitesse. Faite à 6 mois d'intervalle, la Terre occupant donc deux points diamétralement opposés de son orbite circumsolaire, sa vitesse varie de 60 km/s entre ces deux mesures.
Le montage de Michelson et Morley était capable de détecter des vitesses bien inférieures à 60 km/s.

[modifier ( modifier-367-section-3.cours)]Principe de relativité restreinte

Ce principe, permettant de mettre fin au paradoxe de l'échec apparent de l'expérience de Michelson et Morley, dit que dans tout référentiel galiléen (c'est-à-dire d'inertie : dans un référentiel galiléen, tout objet non soumis à des forces extérieures soit demeure immobile, soit décrit un mouvement rectiligne uniforme, c'est-à-dire à vitesse constante), la vitesse de la lumière a toujours la même valeur, , de l'ordre de 300 000 km/s ( environ).

[modifier ( modifier-367-section-4.cours)]Formalisation du principe de relativité restreinte

Considérons un rayon lumineux, plus exactement sa propagation sur un tout petit intervalle de temps .
Le rayon lumineux, pendant ce court laps de temps, s'est propagé dans l'espace selon un vecteur de composantes .
Dire que sa propagation a eu lieu à la vitesse signifie que

ou encore

On posera désormais , et l'on appellera l'intervalle (infinitésimal) d'Univers. Pour tout mouvement de vitesse inférieure à , est un nombre strictement positif, et donc, est un nombre réel.
Avant ce principe de relativité, si l'on changeait de référentiel, disons si le référentiel (R') était animé par rapport au référentiel (R) d'une vitesse selon l'axe des x, alors on avait les formules de changement de référentiel :

A un tout petit déplacement dans le référentiel (R), correspondant le déplacement tel que

Mais alors, si l'on a , on n'a plus dans (R') .
En effet,

On doit donc abandonner les formules de changement de référentiel (1).

[modifier ( modifier-367-section-6.cours)]Interprétation de la transformation de Lorentz

Considérons un mobile qui est au repos dans le référentiel (R'), par exemple, placé en O', origine du repère choisi pour (R').
Pour ce mobile, on peut écrire

Or la deuxième de ces équations dit que , soit  ; or on sait que , d'où
.
A présent, nous savons ce que représentent  :

On a donc
et dans l'autre sens

[modifier ( modifier-367-section-8.cours)]Dilatation du temps

Considérons encore un objet au repos dans le référentiel (R'), mettons encore à l'origine du repère utilisé pour (R').
Considérons cet objet à deux instants différents, pour lui, 0 et .
Nous définirons à présent un événement par sa localisation dans un espace à quatre dimension au moyen de quatre coordonnées .
Précisons donc que nous considérons deux événements dont les coordonnées dans (R') sont et .
La transformation de Lorentz s'inverse facilement, une résolution de système d'équations de niveau 3e (!) donnant

Le premier événement donne dans (R) :

et le deuxième événement donne dans (R) :

Ainsi, pour un observateur au repos dans (R), entre les deux événements, il s'est passé un laps de temps
On dit que est le temps propre de l'objet au repos dans (R') : dans ce référentiel, cet objet "voit" un temps qui est plus petit que tout ce que mesurera un autre observateur, au repos dans un autre référentiel en translation par rapport à celui-ci.
On retiendra : le temps propre d'un mobile animé d'une vitesse dans le référentiel considéré est .
Ce résultat est à la base de ce qu'on appelle le paradoxe de Langevin ou paradoxe des jumeaux : Deux frères jumeaux, dont l'un demeure au repos dans un référentiel galiléen, et l'autre part pour un voyage à une vitesse proche de celle de la lumière, puis revient à la même vitesse : le voyageur trouve son frère jumeau plus vieux que lui, son temps propre étant "dilaté" selon cette formule.
Ainsi, un voyageur se déplaçant dans un voyage aller-retour à la vitesse de vieillit fois moins vite que s'il était resté sur Terre. A son retour sur Terre, s'il a voyagé 23 ans, il n'aura vieilli que de 10 ans environ...

[modifier ( modifier-367-section-9.cours)]Contraction des longueurs

Considérons une règle au repos dans le référentiel (R'), de longueur L.
Considérons les deux événements qui repèrent les points et à l'instant dans (R'). Ces deux événements situent la règle pour un observateur au repos dans (R') à l'instant .
Dans (R'), on a pour le premier événement les coordonnées

et pour le deuxième événement :

Cela donne, selon les transformations de Lorentz, dans (R) :


Ici, il y a un problème d'interprétation : en effet, dans (R'), les deux événements et sont simultanés () mais pas dans (R), où
L'événement est donc à une date supérieure à celle de du point de vue de (R) (c'est aussi ce que nous développerons sous le nom de "relativité de la simultanéité").
Pour évaluer la longueur de la règle dans (R), il faut évaluer la différence d'abscisse des extrémités de la règle au même instant.
Dans (R), à l'instant , l'extrémité de la règle se trouve en

Cela veut dire que pour tout observateur au repos dans (R), la règle sera mesurée avec une longueur dans la direction plus petite, .
C'est ce que nous appelons le phénomène de contraction des longueurs.

[modifier ( modifier-367-section-10.cours)]Relativité de la simultanéité

Nous venons de voir que deux événements simultanés et dans (R') ne sont pas simultanés dans (R).
Ce qui est simultané pour un référentiel ne l'est pas pour un autre.

[modifier ( modifier-367-section-11.cours)]Effets de perspective relativiste

Nous avons parlé de dilatation du temps. En fait, les deux transformations de Lorentz permettant de passer de (R) à (R') et de (R') à (R) sont symétriques (elles diffèrent juste par le signe précédant ) :

Elles donnent des résultats symétriques : ainsi, un observateur au repos dans (R) verra le temps s'écouler pour lui plus lentement qu'un observateur qui le regarde depuis (R').
Ceci n'est qu'un paradoxe apparent, un effet de perspective : en effet, si je suis un peu éloigné de vous, je vous vois plus petit que nature c'est-à-dire que moi-même, mais vous me voyez aussi plus petit que vous-même.

Le paradoxe des jumeaux en est un, car on pourrait dire que chacun des jumeaux voit l'autre vieillir plus lentement. En fait, il y a une dissymétrie qui lève le paradoxe : le jumeau voyageur fait un aller-retour alors que son frère est resté au repos dans le même référentiel.

Du reste, on l'a vérifié expérimentalement, avec une fantastique précision. Ainsi, les rayons cosmiques en entrant dans la haute atmosphère terrestre créent des gerbes de particules à très petite durée de vie. Si la relativité restreinte n'était pas vérifiée, même à la vitesse de la lumière, ces particules ne pourraient jamais parvenir au sol sans se désintégrer bien avant. Or on les observe, parce que leur vie est considérablement plus longue dans le référentiel terrestre (ces particules se meuvent à une vitesse très proche de celle de la lumière).
Le simple fait que les grands accélérateurs de particules, nécessitant une fantastique précision pour fonctionner (un anneau de collision fait des dizaines de kilomètres de diamètre, et les particules accélérées y circulent dans un espace de section quelques décimètres carrés sans en sortir, sans se perdre dans les parois), est déjà une preuve très précise de la validité de la relativité restreinte.
Même le fonctionnement des GPS ne doit sa précision qu'à des corrections relativistes contenues dans les programmes informatiques.