Dernière version du 15.04.2008 01h35
On appellera espace-temps l'espace réel de dimension 4 repérant les événements ponctuels dans un référentiel R donné.
Cet espace-temps est donc , ses éléments les quadruplets de réels
.
Il est par définition pourvu d'un pseudo-produit scalaire, on dira une métrique :
Si et
, alors le produit (pseudo-)"scalaire" de
et
est
, de manière que le carré "scalaire" de
soit
(attention, les coordonnées sont repérés par des indices supérieurs, à ne pas confondre avec des exposants d'une élévation à une puissance !
[modifier (
modifier-368-section-1.cours)]Quadrivecteurs
On appelle quadrivecteur une grandeur à 4 composantes qui se transforme dans un changement de référentiel
comme :
L'archétype des quadrivecteurs est le vecteur donnant la position dans l'espace-temps d'un événement ponctuel : .
Bien sûr, le "carré" d'un quadrivecteur est défini par . Puisque le quadrivecteur se transforme selon les transformations de Lorentz, par définition, son carré est un invariant, c'est-à-dire, ne change pas au cours d'un changement de référentiel :
.
On dit que le carré d'un quadrivecteur est un invariant relativiste.
L'archétype des invariants relativiste est l'intervalle infinitésimal d'Univers : et donc l'intervalle d'Univers (macroscopique) :
(on a remplacé
"petite variation de
par le concept mathématique de
"différentielle de s").
[modifier ( modifier-368-section-2.cours)]Quadrivecteurs importants
Puisque nous avons construit la transformation de Lorentz comme conservant le carré de , il conservera forcément toute variation
et donc la différentielle (que nous admettrons comme représentant les "variations infinitésimales des variables")
.
Nous verrons que, si nous appelons le temps propre d'un mobile, on peut définir sa vitesse propre ou quadrivitesse :
En effet, est invariant :
(voir lignes suivantes).
Donc (par exemple) .
Les composantes de la quadrivitesse sont
et
On note souvent la quadrivitesse
.
Par analogie avec le vecteur impulsion (appelé aussi quantité de mouvement , on définira le quadrivecteur impulsion-énergie
.
On note souvent le vecteur impulsion-énergie
et on pose pour le vecteur impulsion (relativiste) d'un mobile :
Nous allons voir que l'énergie d'un tel mobile est , d'où
,
d'où l'appellation de "quadrivecteur impulsion-énergie" de ce quadrivecteur.
On remarquera d'avance (en attendant d'établir la formule définissant l'énergie en Mécanique relativiste), qu'au repos, un corps de masse possède une énergie
.
C'est la célèbre formule d'Einstein établissant l'équivalence entre la matière et l'énergie.
Si l'on transforme 1 gramme de matière ( kg) en énergie, elle montre qu'on obtient une quantité titanesque d'énergie :
Joules (90 000 milliards de Joules).
[modifier ( modifier-368-section-3.cours)]Invariants relativistes
Toute grandeur telle que dans un changement de référentiel
, on ait
est appelée invariant relativiste (ou invariant tout court).
Nous avons vu que et
Montrons que le temps propre d'un mobile est aussi un invariant relativiste :
Si est une mesure du temps d'un mobile donné dans un référentiel R, et si
est la mesure du temps du même mobile dans R', alors
.
et l'on a vu que est un invariant relativiste.
Ainsi donc, le temps propre d'un mobile est un invariant relativiste.
Chaque fois qu'on a un quadrivecteur , par construction on a un invariant relativiste
Ainsi, la quadrivitesse nous donne l'invariant relativiste
et le quadrivecteur impulsion-énergie nous donne l'invariant (tous calculs faits)
Ce qu'on retiendra sous la forme