Dernière version du 21.04.2008 21h17
[modifier (
modifier-372-section-1.cours)]Cercle
D'abord, un cercle du plan peut se décrire par une équation, tout comme une droite (), une parabole d'axe "vertical" (
) ou une hyperbole sous la forme vue en Seconde (
ou
).
Pour trouver une équation cartésienne d'un cercle, il suffit de connaître le théorème de Pythagore :
En effet, si le centre du cercle est et son rayon
, un point
appartient à ce cercle si et seulement si
, soit
.
Or si l'on construit un triangle rectangle dont l'hypoténuse est [IM], et les côtés de l'angle droit parallèles aux axes de coordonnées (Ox) et (Oy) : (IH)//(Ox) et (HM)//(Oy) par exemple, alors et
.
Le théorème de Pythagore donne
, soit
.
Comme le carré de la valeur absolue d'un nombre n'est autre que le carré de ce nombre, on voit que
signifie que appartient au cercle de centre I et de rayon R, autrement dit, c'est une équation du cercle de centre I et de rayon R.
Je n'ai pas dit l'équation mais une équation, car aurait tout aussi bien fait l'affaire, tout comme
, par exemple.
Si l'on veut tracer ce cercle avec le mode GRAPH d'une calculette graphique, il suffit d'ouvrir l'écran affichant
Comme la calculette veut une expression de forme , on peut tirer
de
:
en effet, , soit
ou
Il suffit donc de taper sur l'écran "texte" de la calculette
La fonction définie en donne le demi-cercle supérieur (càd, se trouvant au-dessus du niveau du centre I, donc avec
),
et celle définie en donne le demi-cercle inférieur (donc avec
).
[modifier ( modifier-372-section-2.cours)]Ellipses, etc.
Le principe est le même partout. Une ellipse d'équation
peut s'exprimer par (calcul élémentaire) :
(moitié supérieure) et
(moitié inférieure)
L'hyperbole d'équation
peut s'exprimer par
et
On n'a plus qu'à tracer les courbes représentatives des fonctions et
(attention, ces fonctions sont définies sur )