Produit vectoriel

Pour information : ce cours est extrait de l'ancien programme de Première C (scientifique) qui a été supprimé et progressivement appauvri dans les années qui suivirent 1981, une fois les sections C et D supprimées et remplacées par la S.

[modifier ( modifier-374-section-1.cours)]Définitions

[modifier ( modifier-374-section-4.cours)]Propriétés

1. Le produit vectoriel est alterné, ce qui veut dire que pour tout vecteur , on a

En effet, considérer l'anticommutativité, en posant . On obtient , d'où la nullité du produit vectoriel d'un vecteur par lui-même.
2. Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
en effet,
3. Si les coordonnées des vecteurs dans une base orthonormale directe sont

alors

4. La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont des représentants de ces deux vecteurs ; ce qui donne

(Remarque : dans l'espace, on ne peut définir d'angles géométriques que dans l'intervalle , d'où la positivité du sinus)
Preuve : Choisissons un repère orthonormal direct, de la manière suivante :
(ce vecteur est colinéaire et de même sens que ).
appartenant au plan
orthogonal au plan
Avec ce choix, on a

(en posant )
alors

ce qui prouve bien le résultat attendu.
5. On a l'équivalence
et colinéaires
(preuve immédiate)

[modifier ( modifier-374-section-5.cours)]Applications

1. Construction instantanée de vecteurs orthogonaux à deux autres, à un plan
Si l'on veut un vecteur orthogonal à et , soit orthogonal à un plan les contenant, il suffit de prendre le produit vectoriel ou un vecteur colinéaire à ce produit
2. Distance d'un point à une droite de l'espace.
On suppose qu'on connaît un repère de la droite .
Soit un point de l'espace. Ecrivons

avec projection orthogonale de sur . Comme , on peut écrire

On a donc la formule suivante, pour la distance d'un point de l'espace à une droite :

où .
3. Une conséquence immédiate est que l'équation d'un cylindre de révolution de rayon et d'axe est

(ce qui se traduit aisément en termes de coordonnées)
4. Une autre conséquence est que l'équation d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet est donné par , soit

(aussi facile à traduire en termes de coordonnées)
5. Double produit vectoriel
Montrons l'identité

Preuve : calculons par exemple la première coordonnée, en posant  :





Même chose pour les 2e et 3e coordonnées.
6. "Division" vectorielle
Cherchons le vecteur "inconnu" vérifiant, pour donnés, l'équation

Ecrivons

soit, d'après 5.,

ou

Or n'est autre que la projection de sur
Appelons ce vecteur
On peut conclure :
est la somme du vecteur et d'un vecteur quelconque colinéaire à .
Concluons :

7. Projection orthogonale d'un point sur une droite.
Si est la projection orthogonale de sur une droite
nous avons vu que

On peut écrire


Mais , il reste donc

On écrit ceci, avec la notation "affine"

(cela veut dire que est l'image de par la translation de vecteur )