Dernière version du 23.04.2008 12h58
Sommaire
1 Définition
1.1 Expression en fonction des coordonnées des vecteurs
1.1.1 Règle de Sarrus
1.2 Signification géométrique
1.3 Produit mixte et caractère coplanaire de trois vecteurs
1.3.1 Condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs soient coplanaires ; définition du déterminant de trois vecteurs de l'espace
2 Propriétés du produit mixte, donc du déterminant d'ordre 3
2.1 Antisymétrie
2.2 Multilinéarité
3 Calculs de déterminants d'ordre 3
3.1 Développement d'un déterminant sur une ligne ou une colonne
4 Système de Cramer d'ordre 3
Ce cours fait suite à "Produit vectoriel". Il faisait aussi partie de l'ancien programme de Première Scientifique (C).
[modifier (
modifier-375-section-1.cours)]Définition
Nous travaillons toujours dans l'espace usuel muni d'une base orthonormale directe .
On appelle produit mixte de trois vecteurs (dans cet ordre) le produit scalaire
.
Si l'on appelle l'ensemble des vecteurs de l'espace
, le produit vectoriel est donc une application
.
[modifier ( modifier-375-section-2.cours)]Expression en fonction des coordonnées des vecteurs
On a immédiatement, en posant
:
[modifier ( modifier-375-section-3.cours)]Règle de Sarrus
On peut écrire d'une façon plus mnémotechnique le produit mixte des trois vecteurs :
La somme algébrique qu'on vient d'écrire correspond aux produits "descendants" moins les produits "remontants" dans le schéma suivant :
Exemple :
Si
Alors en disposant les coordonnées (ou en les imaginant) comme le tableau
| 2 | 1 | 0 | 2 | 1 |
| 0 | 4 | -4 | 0 | 4 |
| -1 | -2 | -2 | -1 | -2 |
On écrit
[modifier ( modifier-375-section-4.cours)]Signification géométrique
Nous avons vu que est l'aire du parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont des représentants des vecteurs
et
.
Le produit scalaire de avec
vaut
, soit
l'aire du parallélogramme construit sur
et
multipliée par la hauteur
, soit le volume (au signe près, car le cosinus peut être négatif) du parallélépipède construit sur les trois vecteurs
.
On retiendra que le produit mixte de trois vecteurs est, au signe près, le volume du parallélipède construit sur les trois vecteurs.
[modifier ( modifier-375-section-5.cours)]Produit mixte et caractère coplanaire de trois vecteurs
Si trois vecteurs sont coplanaires, c'est-à-dire si l'un est combinaison linéaire des deux autres :
,
alors leur produit mixte est nul (c'est-à-dire le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs, réduit à une figure plane, est nul).
Réciproquement, si le produit mixte de trois vecteurs est nul, ils sont coplanaires ("hauteur" nulle).
On peut énoncer le critère :
[modifier ( modifier-375-section-6.cours)]Condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs soient coplanaires ; définition du déterminant de trois vecteurs de l'espace
Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
On définit le déterminant de trois vecteurs , dans cet ordre, comme le produit mixte
:
Attention : je devais écrire "det" au lieu de "DET", mais l'interpréteur LaTeX ne le permet pas, aussi ai-je dû me résoudre à écrire "det" en capitales !
On notera le déterminant de ces trois vecteurs (dans cet ordre) :
Il se calcule aisément par la règle de Sarrus, vue plus haut.
On peut énoncer :
sont coplanaires si et seulement si
[modifier ( modifier-375-section-7.cours)]Propriétés du produit mixte, donc du déterminant d'ordre 3
[modifier ( modifier-375-section-8.cours)]Antisymétrie
On vérifie aisément que
1. Si l'on change l'ordre de 2 des 3 vecteurs, le produit mixte change de signe :
2. Donc le produit mixte est nul si deux des trois vecteurs sont égaux (ou colinéaires, voir plus loin la multilinéarité) :
3. Cas particulier, mais intéressant ici (espace tridimensionnel) :
Le produit mixte de trois vecteurs ne change pas lorsqu'on les permute circulairement (en effet, cela revient à permuter deux fois des paires de vecteurs) :
[modifier ( modifier-375-section-9.cours)]Multilinéarité
On vérifie immédiatement par simple calcul :
et
Ce qui donne un peu plus généralement (la somme au dernier membre contient
et en général
[modifier ( modifier-375-section-10.cours)]Calculs de déterminants d'ordre 3
[modifier ( modifier-375-section-11.cours)]Développement d'un déterminant sur une ligne ou une colonne
Les déterminants d'ordre 3 (et même de tous ordres, mais cela ne peut être abordé au niveau élémentaire que nous adoptons ici) ont l'intéressant propriété suivante, vérifiable par simple calcul :
On peut écrire (développement du déterminant sur la première ligne) :
On peut écrire aussi (développement du déterminant sur la deuxième ligne) :
On peut écrire aussi (développement du déterminant sur la première colonne) :
ou (développement du déterminant sur la troisième colonne) :
etc. La mnémotechnique est simple : pour développer sur une colonne ou une ligne, multiplier par chaque élément de ladite colonne ou ligne affecté du signe donné par le tableau
par le déterminant d'ordre 2 obtenu en rayant la ligne et la colonne de l'élément considéré.
Exemple
Soit à calculer le déterminant
Il est clair qu'on a tout intérêt à développer ce déterminant sur la 2e colonne, car celle-ci contient deux zéros, d'où une importante simplication du calcul :
[modifier ( modifier-375-section-12.cours)]Système de Cramer d'ordre 3
On considère le système de 3 équations à 3 inconnues, appelé système de Cramer d'ordre trois :
Il peut s'écrire comme une équation vectorielle
... en posant
Multiplions vectoriellement à gauche les deux membres de l'équation vectorielle par par exemple :
ce qui donne
Multiplions scalairement à gauche les deux membres de cette équation par ; on trouve
ou (en changeant les signes des deux membres)
ce qui se traduit simplement par
Appelons
le déterminant du système de Cramer.
Si ce déterminant est non nul : , alors
et aussi
soit
Mnémotechnique : pour obtenir , remplacer la première colonne par les
; pour obtenir
, remplacer la deuxième colonne ; pour
, remplacer la troisième colonne.
Exemple
Soit à résoudre le système
Le déterminant de ce système est
Comme ce déterminant est non nul, le système admet une solution unique donnée par
Avec un peu d'habitude, ces calculs sont quasi-instantanés et sans risques d'erreur.