Théorème des angles inscrits (ou ''des arcs capables'') et formule des sinus

[modifier ( modifier-376-section-1.cours)]Théorème des arcs capables (ou des angles inscrits)

Soit un cercle de centre , deux points distincts de ce cercle. Pour tout point du cercle, si les angles et sont tournés dans le même sens (ils "regardent" "du même côté"), alors on a

[modifier ( modifier-376-section-2.cours)]Preuve

Elle est élémentaire :
Considérons le diamètre . Alors parce que et est isocèle en .
On a donc (1)
D'autre part, (angle plat), soit
(2)
En éliminant entre (1) et (2), on obtient

On démontrera de même que

Comme

et

on a bien toujours

[modifier ( modifier-376-section-3.cours)]Formule des sinus

Soit un triangle , son cercle circonscrit, de centre . On appellera le rayon de ce cercle circonscrit.
Traçons , diamètre de .
D'après le théorème des arcs capables, on a

Or étant un diamètre du cercle, on a
d'où, en posant

Comme le choix de ne correspond à aucun privilège ni particularité de ce sommet par rapport aux autres, on a aussi :

On peut écrire le tout sous la forme :

Cette triple égalité est appelée formule des sinus.