Dernière version du 06.05.2008 11h28
Sommaire
1 Définitions
1.1 Univers et ensemble vide
1.2 Complémentaire par rapport à l'univers
1.3 Réunion de deux ensembles
1.4 Intersection de deux ensembles
1.5 Inclusion
2 Propriétés
2.1 Complémentaires
2.2 Réunion et intersection
2.3 Inclusion
2.4 Théorème sur les quantificateurs, univers et vide
Cette leçon donne non seulement le vocabulaire des ensembles, utile dans toutes les branches des mathématiques, mais aussi les règles de bonne conduite évitant tous les pièges possibles et imaginables. Elle n'est donc pas à négliger, si vous aimez les mathématiques et désirez aller vers l'excellence dans cette discipline qui est un peu la mère des sciences...
[modifier (
modifier-377-section-1.cours)]Définitions
Un ensemble est une collection quelconque d'objets, réels ou imaginaires. Ces objets sont dits éléments de l'ensemble.
Si l'on peut en donner la liste, on note un ensemble par la liste de ses éléments séparés par des virgules, entre des accolades.
Par exemple, l'ensemble des chiffres dans le système de numération décimal s'écrit
Si l'ensemble a un nombre infini d'éléments, que l'on sait générer sans ambiguïté l'un à la suite de l'autre, on peut écrire de manière un peu analogue (par exemple ici, l'ensemble des entiers naturels) :
On peut définir un ensemble si l'on sait décrire ses éléments :
(lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels que chaque x est pair)
(on conviendra que / se lit : "tel que" ou "tels que")
(ensemble des entiers naturels pairs) ou, mieux, en explicitant la parité :
(lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels qu'il existe un entier n avec x = 2n)
Si est un élément de l'ensemble
, on écrit
(lire : "
est un élément de
", ou "
appartient à
")
On peut aussi écrire (lire : "
contient
[comme élément]")
Si n'est pas un élément de
, on écrira
(lire : "
n'appartient pas à
", ou "
n'est pas un élément de
").
[modifier ( modifier-377-section-2.cours)]Univers et ensemble vide
En général, on se donne toujours un ensemble de base, appelé univers, assez grand pour contenir tous les objets qui nous intéressent.
Si je veux raisonner sur le nombre de chemises que je peux m'acheter, l'univers sera .
Si je veux raisonner sur les angles géométriques d'un triangle, l'univers sera (si je raisonne en radians) ou
(si je raisonne en degrés).
Si je veux raisonner sur le mouvement d'un objet dans un plan (ainsi, un projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre), l'univers décrivant les positions au cours du temps de mon objet sera .
Mais si je me donne un univers, il est rare que je le "parcoure" en entier : par exemple, je ne m'achèterai jamais 235 602 chemises !
Et mon projectile, lancé à partir d'un sol horizontal, montera à une certaine altitude et retombera au sol, ne parcourant que des points avec
.
Il est naturel, donc, de considérer en général une partie (ou sous-ensemble) de l'univers.
Comme on l'a vu en Logique, une partie de l'univers E est définie par une propriété
sur E, et réciproquement, une propriété
sur E peut être définie par une partie
de E.
Ainsi, la propriété correspond à l'ensemble
, partie de
composée de tous les entiers naturels pairs.
L'ensemble vide est la partie vide de
, on pourrait aussi dire que c'est l'ensemble associé à la propriété qui est fausse pour tout élément de
, c'est-à-dire vraie pour aucun élément.
On dit (en passant) que est la partie pleine de
, et il est clair que
est l'ensemble associé à la propriété qui est vraie pour tout élément de
.
L'univers est également associé au quantificateur universel , et l'ensemble vide est associé au quantificateur existentiel
, par les définitions
[modifier ( modifier-377-section-3.cours)]Complémentaire par rapport à l'univers
On a vu que si à la propriété correspond la partie
de
, alors à une négation
correspond son complémentaire dans
, soit
.
On retiendra :
si , alors
[modifier ( modifier-377-section-4.cours)]Réunion de deux ensembles
On se donne deux ensembles , parties de l'univers
.
La réunion de est l'ensemble des objets appartenant à au moins l'un des deux ensembles
:
(lire :
union
est l'ensemble des éléments
de l'univers, qui appartiennent à
ou à
")
On rappelle qu'en Logique, "ou" ne veut pas dire "ou bien...ou bien", mais "au moins l'un des deux est vrai".
[modifier ( modifier-377-section-5.cours)]Intersection de deux ensembles
On se donne deux ensembles , parties de l'univers
.
L'intersection de et
est l'ensemble des objets appartenant à la fois à l'un et l'autre des ensembles
:
(lire : "
inter
est l'ensemble des éléments
de l'univers, qui appartiennent à
et à
").
[modifier ( modifier-377-section-6.cours)]Inclusion
Tous les ensembles considérés sont des parties de l'univers : on dit aussi qu'ils sont inclus dans
, et l'on écrit
Soient deux parties de ,
et
.
Si tout élément de est un élément de
, on dira que
est inclus dans
et l'on écrira
.
En termes de Logique, ceci peut se définir suivant
(sous-entendu avec
)
ou encore
(sous-entendu avec
)
[modifier ( modifier-377-section-7.cours)]Propriétés
[modifier ( modifier-377-section-8.cours)]Complémentaires
1. Le premier théorème de Loqique, sous sa première forme :
"Si , alors
"
donne la propriété
"Si , alors
" (Si P est le complémentaire de Q, alors Q est le complémentaire de P)
2. Le premier théorème de Loqique, sous sa deuxième forme :
""
donne la propriété
qui s'écrit encore
ou
[modifier ( modifier-377-section-9.cours)]Réunion et intersection
L'associativité des connecteurs logiques et
donne les propriétés d'associativité :
La distributivité de sur
et de
sur
donnent les propriétés de distributivité de
sur
et réciproquement :
Le théorème de Logique s'énonçant
""
et son dual obtenu en permutant ou avec et donnent les propriétés
Ces deux égalités sont appelées Lois de De Morgan. Elles traduisent le fait que
- le complémentaire d'une réunion, c'est l'intersection des complémentaires, et que
- le complémentaire d'une intersection, c'est la réunion des complémentaires.
[modifier ( modifier-377-section-10.cours)]Inclusion
1. Le théorème de Logique qui s'énonce
" équivaut à
"
donna la propriété
(" est inclus dans
" équivaut à "
est inclus dans
")
2. Le théorème de Logique qui s'énonce
" équivaut à
"
donne la propriété
En effet, le théorème de Logique dit que l'implication équivaut à "
est toujours vraie".
[modifier ( modifier-377-section-11.cours)]Théorème sur les quantificateurs, univers et vide
On connaît le théorème de Logique
et son "dual"
Il signifie juste que
et
