Barycentres

Dernière version du 03.09.2008 19h56

Sommaire

1 Définition
1.1 Preuve de l'existence et de l'unicité de G
1.1.1 Remarque : cas où la somme des coefficients est nulle
1.2 Exemples
2 Propriétés
2.1 Théorème du barycentre partiel, ou de l'associativité du barycentre

[modifier ( modifier-378-section-1.cours)]Définition

Soient $Formule mathématique$ points du plan, $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ nombres réels $Formule mathématique$ .
On suppose que $Formule mathématique$
Alors il existe un point unique $Formule mathématique$ du plan, vérifiant
$Formule mathématique$ (1)
Ce point est appelé barycentre des points $Formule mathématique$ affectés respectivement des coefficients $Formule mathématique$ , ou
barycentre des points pondérés $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-378-section-2.cours)]Preuve de l'existence et de l'unicité de G

(1) peut s'écrire, si $Formule mathématique$ est un point donné (quelconque) :
$Formule mathématique$
soit encore
$Formule mathématique$
et comme l'on a supposé $Formule mathématique$ ,
le vecteur $Formule mathématique$ est déterminé sans ambiguïté et de manière unique par
$Formule mathématique$
ce qui détermine le point $Formule mathématique$ de manière unique.

[modifier ( modifier-378-section-3.cours)]Remarque : cas où la somme des coefficients est nulle

Le vecteur $Formule mathématique$ ne dépend pas de $Formule mathématique$ , c'est-à-dire ne change pas si l'on remplace $Formule mathématique$ par un autre point :
En effet, soit un point $Formule mathématique$ quelconque dans le plan :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
On dit aussi que la fonction vectorielle $Formule mathématique$ est constante.
Si cette fonction est bien nulle (c'est-à-dire si l'on arrive à trouver un point $Formule mathématique$ tel que $Formule mathématique$ ), alors tout point du plan vérifie l'équation (1).
Si cette fonction est non nulle, aucun point du plan ne convient.

[modifier ( modifier-378-section-4.cours)]Exemples

1. Soient deux points $Formule mathématique$ du plan. Le point $Formule mathématique$ vérifiant
$Formule mathématique$ (2)
est appelé isobarycentre de $Formule mathématique$ : c'est simplement le milieu de $Formule mathématique$ .
On peut dire $Formule mathématique$ , ou $Formule mathématique$ ; en effet, (2) s'écrit, avec $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
2. Soient trois points $Formule mathématique$ du plan. Le point $Formule mathématique$ vérifiant
$Formule mathématique$ (3)
On remarquera que $Formule mathématique$ avec $Formule mathématique$ .

appelé isobarycentre de $Formule mathématique$ , n'est autre que le centre de gravité du triangle $Formule mathématique$ .
En effet, soit $Formule mathématique$ le milieu de $Formule mathématique$ ; (3) s'écrit :
$Formule mathématique$
Comme $Formule mathématique$ , on obtient
$Formule mathématique$
ou $Formule mathématique$ , ce qui signifie que $Formule mathématique$ est sur la médiane $Formule mathématique$ , au tiers en partant de $Formule mathématique$ : c'est exactement le centre de gravité du triangle $Formule mathématique$ .

[modifier ( modifier-378-section-5.cours)]Propriétés

1. Barycentre de deux points pondérés :
Si $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ se trouve sur le segment $Formule mathématique$ , avec $Formule mathématique$ inversement proportionnels à $Formule mathématique$ ( $Formule mathématique$ est plus proche de la "masse" la plus "lourde").
Si $Formule mathématique$ sont de signes contraires, $Formule mathématique$ sera sur la droite $Formule mathématique$ , à l'extérieur du segment $Formule mathématique$ , avec $Formule mathématique$ inversement proportionnels à $Formule mathématique$ ( $Formule mathématique$ est plus proche de la "masse" de plus grande valeur absolue).
2. Formule fondamentale pour les barycentres (à retenir !)
Si
$Formule mathématique$
alors pour tout point $Formule mathématique$ du plan, on a
$Formule mathématique$
Preuve elle a été faite au début de ce cours, lors de la preuve de l'existence et de l'unicité de $Formule mathématique$ (remplacer $Formule mathématique$ )
3. Coordonnées d'un barycentre dans un repère donné
Si $Formule mathématique$
la formule fondamentale des barycentres avec $Formule mathématique$ (origine du repère) donne
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-378-section-6.cours)]Théorème du barycentre partiel, ou de l'associativité du barycentre

Enoncé : Le barycentre d'un ensemble de points pondérés ne change pas si l'on remplace certains de ces points par leur barycentre affecté de la somme (supposée non nulle) de leurs coefficients
Précisément, si
$Formule mathématique$
et si
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ alors
$Formule mathématique$
Preuve
D'après la relation fondamentale des barycentres, on peut toujours écrire, pour tout point $Formule mathématique$ ,
$Formule mathématique$
En choisissant $Formule mathématique$ ,
$Formule mathématique$
s'écrit
$Formule mathématique$
ce qui veut dire exactement que $Formule mathématique$ est le barycentre des points pondérés $Formule mathématique$
Exemple
Construire le barycentre $Formule mathématique$
Posons $Formule mathématique$ .
Il est clair que $Formule mathématique$ se trouve sur le segment $Formule mathématique$ , au tiers de ce segment et du côté de $Formule mathématique$ .
On a donc
$Formule mathématique$
Si l'on pose $Formule mathématique$
alors
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ se trouve sur le segment $Formule mathématique$ , au quart de ce segment, du côté le plus proche de $Formule mathématique$ .
Ainsi, on a trouvé très facilement le barycentre du système des 4 points pondérés.

Dernière mise à jour: le 03.09.2008 à 20:56
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