Dernière version du 28.04.2008 23h12
[modifier (
modifier-380-section-1.cours)]Rappel d'une formule
On rappelle que pour tout entier naturel , la somme des carrés des entiers positifs non supérieurs à
vaut :
[modifier ( modifier-380-section-2.cours)]Volume d'un cône de révolution de rayon R et de hauteur h
Imaginons qu'on coupe le cône en tranches, des troncs de cône de hauteur
, déterminés par les intersections du cône avec des plans perpendiculaires à son axe de symétrie et distants entre eux de
.
Les dimensions de ces troncs de cône sont facilement déterminés par le seul théorème de Thalès.
- Le premier tronc de cône, celui de la base, a deux faces en forme de disque, de rayons
et
.
Son volume est donc minoré par celui du cylindre de rayon
et de hauteur
et majoré par celui du cylindre de rayon et de hauteur
:
- Le deuxième tronc de cône, juste au-dessus, a deux faces en forme de disque, de rayons
et
.
Son volume est donc minoré par celui du cylindre de rayon
et de hauteur
et majoré par celui du cylindre de rayon et de hauteur
:
- Le
tronc de cône (
), a deux faces en forme de disque, de rayons
et r
.
Son volume est donc minoré par celui du cylindre de rayon
et de hauteur
et majoré par celui du cylindre de rayon et de hauteur
:
- Le
tronc de cône, qui est en fait un cône, de rayon
.
Son volume peut être minoré par 0 et majoré par celui d'un cylindre de rayon
et de hauteur
:
Additionnons membre à membre ces encadrements (ce qu'on peut écrire) :
Soit
Lorsqu'on fait tendre vers l'infini, on a
et aussi
Le minorant et le majorant tendent tous deux vers la même limite, qui est
[modifier ( modifier-380-section-3.cours)]Volume de la "sphère" (je préfèrerais dire : "boule sphérique")
Je vous encourage à ne pas vous limiter à tout ce qui est "facile" et "évident" en mathématiques.
L'effort consenti pour des raisonnements "pas évidents" ou même parfois "difficiles" (mais ils ne sont difficiles que tant qu'on ne les a pas faits et dépassés, pour se retrouver au niveau suivant, supérieur !) est toujours enrichissant, et bien plus qu'on ne l'imaginait... avant !
Ces formules sont généralement acceptées sans démonstration, par exemple pour le cône en Troisième... En mathématiques, la moindre des choses est de ne manipuler, n'utiliser que ce qu'on sait démontrer, ce qu'on connaît vraiment !
Considérons une demi-sphère de rayon , posée sur sa base qui est un disque de rayon
.
Coupons cette demi-sphère en tranches d'épaisseur
On pose .
Le théorème de Pythagore nous donne
puis
plus généralement
et jusqu'à
Soit le volume de la première tranche de boule sphérique ; on a
, soit
; on a de même
...
...
En additionnant membre à membre ces encadrements, on obtient
, soit
Lorsque , le membre de gauche tend vers
, le membre de droite aussi !
En tout, on trouve