Partage à trois : diagramme de Dalitz

Les diagrammes de Dalitz servent dans des situations très diverses : en économie et finance, pour partager une somme constante en trois parties variables ; en physique des hautes énergies, pour étudier la désintégration d'une particule en trois autres, emportant chacune une partie de l'énergie initiale du système, énergie qui se conserve donc reste constante durant la désintégration.

[modifier ( modifier-381-section-1.cours)]Principe

Considérons un triangle équilatéral , de côté .
Soit un point intérieur à ce triangle, ses projections orthogonale respectives sur .
L'aire du triangle est la somme des aires des triangles .

L'aire de est .
En effet,
L'aire de est ,
l'aire de est ,
l'aire de est .
On a donc

soit

où n'est autre que la hauteur du triangle équilatéral .
Ainsi, lorsque le point se déplace à l'intérieur du triangle , la somme de ses distances aux trois côtés est constante et égale à la hauteur du triangle.

[modifier ( modifier-381-section-2.cours)]Représentation d'un partage en trois parts

Pour représenter le partage d'une quantité en trois parties , traçons le triangle équilatéral dont la hauteur représente la somme , et les axes représentant  :

Par exemple, si , .
Un segment parallèle à l'un des côtés du triangle correspond à un ensemble de points avec l'une des trois coordonnées constante :
par exemple, l'ensemble des points matérialisé par le segment coloré ci-dessous :

correspond à , donc à , soit