Dernière version du 29.04.2008 03h43
Nous allons montrer que l'aire d'une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe
(
) n'est autre que
.
On retrouve d'ailleurs comme cas particulier que l'aire d'un disque de rayon est
, puisqu'un cercle n'est rien d'autre qu'une ellipse avec
.
[modifier (
modifier-382-section-1.cours)]Première approche
Définition d'une transformation géométrique bien utile : l'affinité.
[modifier ( modifier-382-section-2.cours)]Affinité orthogonale d'axe D et de rapport k
Soit une droite . L'affinité orthogonale d'axe
et de rapport
est la transformation du plan qui à tout point
fait correspondre le point
tel que
et si
, vérifie
.
Il est clair que l'image d'une figure du plan ayant une certaine aire est une figure d'aire multipliée par (si l'on pose que
est l'axe des x, alors la transformation s'écrit :
On peut imaginer que toute surface contient des petits rectangles de dimensions ; l'image d'une telle surface contiendra les petits rectangles correspondants de dimensions
, donc d'aire multipliée par le facteur
.
Or l'équation d'un cercle de rayon et de centre
(dans un repère orthonormal) est
, ou
;
l'équation d'une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe
(
) est
Or par l'affinité d'axe et de rapport
, c'est-à-dire la transformation définie analytiquement par
Le cercle d'équation
se transforme en ellipse d'équation (en effet, en substituant
à
et
à
, on obtient l'équation
de l'ellipse (satisfaite par le point
).
Il est clair que l'aire de l'ellipse est fois celle,
, du cercle, soit
.
[modifier ( modifier-382-section-3.cours)]Deuxième approche : calcul intégral
Nous allons en profiter pour découvrir "à la main" les changements de variables dans les intégrales !
L'équation de l'ellipse peut s'écrire
.
Une demi-ellipse (contenue dans le plan ) admet donc comme équation :
Sa courbe représentative est :
L'aire coloriée sur ce graphique n'est autre que (la fonction étant positive) :
Pour évaluer (je veux dire, calculer exactement, quand même !) cette intégrale, faisons le changement de variable suivant :
Comme varie de
à
,
varie de
à
.
Ecrivons la dérivée de par rapport à la variable
, sous la forme :
ce qui nous donne formellement (ici, notre propos n'est pas de construire en toute rigueur la théorie du changement de variable en intégration) :
A présent, l'aire de la demi-ellipse, jusqu'à maintenant notée , s'écrit
Ou
Or, en trigonométrie (1ère S) on connaît
Calculons l'intégrale :
d'où
.
