Réfraction de la lumière et principe de Huygens

Nous allons vérifier que l'observation du phénomène de réfraction de la lumière d'une part et sa conséquence, la loi de Descartes pour la réfraction, et d'autre part les mesures de la vitesse de la lumière dans divers milieux transparents et le vide, s'expliquent bien par le principe d'Huygens, qui énonce
"Le trajet suivi par la lumière pour se propager d'un point de l'espace à un autre point, , est celui qui correspond au temps de parcours minimal".

[modifier ( modifier-383-section-1.cours)]Phénomène de réfraction de la lumière

On remarque qu'un rayon de lumière entrant dans l'eau change de direction : il se propage en ligne droite dans l'air et dans l'eau, mais subit un changement net de direction en passant d'un milieu transparent à l'autre : on dit qu'il est réfracté.
Si l'on fait quelques mesures d'angles, en posant l'angle d'incidence, c'est-à-dire l'angle du rayon entrant avec la normale à la surface de l'eau, et l'angle de réfraction, c'est-à-dire l'angle du rayon réfracté avec la même normale à la surface de l'eau, on observe que
.
D'autre part, si l'on mesure la vitesse de la lumière dans le vide, on trouve une valeur de l'ordre de . Dans l'air, la vitesse de la lumière est quasiment celle dans le vide.
Mais dans l'eau, on trouvera une valeur telle que très précisément.
Ainsi, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction n'est autre que le rapport des vitesses de la lumière dans l'air et dans l'eau.

[modifier ( modifier-383-section-2.cours)]Le principe d'Huygens

Voyons si l'hypothèse de ce principe fonctionne : la lumière se propage en ligne droite dans l'air comme dans l'eau, à cause de l'homogénéité et de l'isotropie de ces deux milieux.
Considérons un point situé dans l'air, et un point situé dans l'eau, et voyons comment la lumière pourrait aller de à en un temps minimum.
Ramenons le problème à deux dimensions : et appartenant à un plan perpendiculaire à la surface de l'eau. Nous schématiserons la surface de l'eau comme axe des dans la figure ci-après :

Nous poserons pour les coordonnées des points de départ et d'arrivée :
On cherche un point (sur l'axe des x, donc) tel que le trajet soit le plus court possible en temps écoulé.
La lumière se propage à la vitesse dans l'air et dans l'eau, avec .
Le temps de parcours de la lumière dépend bien sûr de , abscisse de  :
, soit

Ceci définit une fonction qui a cette allure :

Le minimum de correspond au point unique où la dérivée s'annule : .
Or

soit

Le signe (-) après le signe (=) montre que et sont de signes contraires, c'est-à-dire que (ici, voir schéma, (le point se trouve entre les projections de et sur la surface de l'eau, ce qui est normal. S'il était extérieur à ce segment, les distances en cause et la durée du trajet auraient forcément été supérieures).
On peut écrire, comme égalité de nombres positifs :

Or (voir schéma ci-dessous)

Donc, la nullité de la dérivée de s'écrit

soit

ce qui revient bien à
.