Une astuce impliquant les complexes dans un calcul d'intégrale

[modifier ( modifier-384-section-1.cours)]La question

Calculer une intégrale de la forme

demande soit deux intégrations par parties astucieusement faites dans le bon ordre, soit de poser a priori une primitive de forme générale et dont on cherchera à déterminer les coefficients (ce qui est déjà plus facile).
Mais il existe un moyen encore plus simple. Nous allons le découvrir tout de suite !

[modifier ( modifier-384-section-2.cours)]Méthode par complexification de l'intégrale

Prenons simplement un exemple, car c'est une idée très simple, qu'on saisira immédiatement !
Par exemple, soit à calculer

On remarque que c'est la partie réelle de l'intégrale complexe

Intégrons cette dernière, formellement :

La partie réelle vaut