Dernière version du 01.05.2008 18h47
On cherche à calculer les (deux) racines carrées d'un nombre complexe donné, sous sa forme algébrique.
Par exemple, on veut les racines carrées de (avec
, sinon il n'y aurait plus de problème).
Posons pour une racine carrée de ,
.
( est une lettre grecque qui se lit "dzéta")
On a (
est une racine carrée de
équivaut à
est le carré de
), soit
On a donc le système
L'astuce consiste à écrire la relation entre les modules , ce qui donne :
On obtient le système "amélioré" :
En fait, la 3e équation ne sert qu'à une chose : à savoir si sont de même signe ou de signes contraires.
En effet, en résolvant les deux premières par addition puis soustraction membre à membre :
On n'a aucun problème de signe pour trouver le réel , car
(comparer deux réels positifs (ou nuls) équivaut à comparer leurs racines carrées (ou leurs carrés))
Finalement,
Et si ,
sont de même signe, ce qui donne les deux racines carrées :
Si ,
sont de signes contraires :
[modifier (
modifier-386-section-1.cours)]Exemple
Soit à trouver les racines carrées de
Si l'on pose pour une racine carrée ,
En additionnant membre à membre les deux premières équations, on trouve
et en soustrayant membre à membre les mêmes équations,
La troisième et dernière équation montre que sont de signes contraires. Les deux racines carrées cherchées sont donc
[modifier ( modifier-386-section-2.cours)]Application aux équations du second degré à coefficients complexes
Le seul problème est qu'il nous faut trouver les racines carrées d'un discriminant qui est ici a priori complexe.
Exemple
Soit l'équation
Son discriminant est
Cherchons , une racine carrée de
:
On trouve immédiatement
et de signes contraires.
Donc les racines carrées du discriminant sont
Les deux solutions de l'équation sont
Leurs valeurs approchées en virgule flottante sont
(on peut s'amuser à les écrire exactement sous forme algébrique, mais leur écriture ne se simplifie pas, ou peu)
