Dernière version du 30.04.2008 20h38
[modifier (
modifier-387-section-1.cours)]Racines cubiques de l'unité
Cherchons les racines cubiques de 1 : ce sont les nombres tels que
(1)
(en effet, 1 est le cube de équivaut à
est une racine cubique de 1)
Cette équation se factorise en
L'équation se factorise, les solutions sont celles d'une équation du 1er degré, et d'une du 2nd degré.
L'équation du premier degré donne la solution
L'équation du second degré a un discriminant de valeur -3. Ses solutions sont donc les nombres complexes, conjugués entre eux :
On posera
On vérifie facilement (exercice de calcul simple) que
En résumé, les racines cubiques de l'unité sont au nombre de trois :
Une autre approche consiste à travailler sous la forme exponentielle : en posant
l'équation (1) s'écrit
Cela équivaut au système
Un seul réel positif satisfait la première équation, une infinité de valeurs à la deuxième :
Or trois valeurs successives de suffisent à exprimer tous les points représentatifs des angles
sur le cercle trigonométrique : 0,1 et 2.
On trouve (ou retrouve) :
[modifier ( modifier-387-section-2.cours)]Racines cubiques d'un nombre complexe non nul
La seule racine cubique de 0 et 0.
Supposons un complexe non nul. Si l'on pose
, ses racines cubiques, notées
, sont définies par
On peut donc dire que (s'il est non nul) a trois racines cubiques distinctes :
;
ou plus simplement
,
En général (facile à vérifier) dès que l'on connaît une racine cubique de , on connaît les deux autres, obtenues en multiplant la première racine cubique par
ou
Exemple
Le nombre 8i est le cube de -2i. En effet, .
Si l'on cherche les racines cubiques de 8i, on a donc -2i, -2ij et -2ij², soit
ou :