Application des racines cubiques de nombres complexes : équation du troisième degré

[modifier ( modifier-388-section-1.cours)]Rappels

Rappelons que toute équation du troisième degré
(1)
(avec )
se ramène à la forme
(2)
(avec )
par une simple translation de l'inconnue : , avec .
En posant , l'équation (2) s'écrit

(la deuxième équation est simplement une forme alternative de qui doit être vérifiée)
Ainsi, sont les deux solutions de l'équation du second degré d'inconnue  :

[modifier ( modifier-388-section-2.cours)]Discussion

• Si , on obtient réels :

Il suffit d'extraire leurs racines cubiques, et l'on obtient

(Ce choix convient, il vérifie l'équation )
Il existe d'autres racines cubiques pouvant définir  :

(en effet, il faut que )
ou

(pour la même raison)
Cela nous donne deux solutions complexes :

Et comme sont définis réels, on voit que les deux solutions non réelles sont conjuguées complexes l'une de l'autre :

• Si , on obtient

Alors on a une première solution réelle :

et une solution :

qui est une racine double, car

• Si , recourons à une autre "astuce" : posons

L'équation (2) s'écrit

Linéarisons
L'équation précédente s'écrit
(3)
Tentons d'annuler les deux termes centraux :

On n'a pas encore choisi  : posons donc

( est forcément négatif, si est négatif)
Mais alors, l'équation (3) s'écrit

soit

Une telle valeur est-elle possible pour un cosinus ? Si elle est comprise entre -1 et 1, c'est-à-dire si son carré est compris entre 0 et 1, ce serait parfait !
Regardons :

Or , ce qui signifie, ou
On a un nombre positif inférieur à 1, donc un nombre compris entre 0 et 1. Le choix est ainsi totalement justifié !
Posons
Cette équation a 3 solutions, selon qu'on prend
ou ou
On a donc trois solutions réelles distinctes.
Récapitulation schématique
Si , l'équation (2) admet une solution réelle et deux solutions complexes conjuguées entre elles.
La courbe d'équation a l'allure suivante :

Si , l'équation (2) admet deux solutions réelles dont une simple et une double.
La courbe d'équation a l'allure suivante :

Si , l'équation (2) admet trois solutions réelles distinctes.
La courbe d'équation a l'allure suivante :

L'équation (1) qui nous intéresse en réalité, admet autant de solutions, obtenues par la translation d'inconnue inverse, en posant