Equations différentielles élémentaires

Nous nous intéressons ici aux équations différentielles d'inconnue de forme
(1)
avec (équation différentielle linéaire du premier ordre) ou
(2)
avec (équation différentielle linéaire du second ordre)
On appellera par convention le premier membre, et le second membre.
désigne une fonction dérivable inconnue, et sa dérivée (par rapport à la variable )
A (1) nous associons l'équation différentielle
(3)
appelée équation homogène associée à (1), ou équation sans second membre associée à (1)
et de même, à (2), nous associons
(4)
appelée également équation homogène associée à (2)

[modifier ( modifier-389-section-1.cours)]Equation différentielle homogène du premier ordre

Cherchons à résoudre l'équation

Si , c'est un simple exercice d'intégration : (toutes les fonctions constantes sont alors solution de (3))
Si , l'équation s'écrit

Or on sait que
pour toute fonction dérivable et ne s'annulant pas pour les valeurs considérées de la variable
L'équation équivaut donc à

et alors

où est une constante réelle quelconque.
Comme l'on sait que

on peut écrire l'égalité équivalente

étant une constante réelle quelconque, est une constante réelle strictement positive quelconque. Posons donc

On a donc dans le cas  :

avec
Mais ceci peut encore s'écrire

Remarquons que la fonction nulle vérifie aussi (3) :

Alors, nous pouvons maintenant énoncer : si , les solutions de l'équation (3) sont

Exemples
1. L'équation peut s'écrire .
Sa solution générale est donc

2. L'équation peut s'écrire

ou

En posant , cela donne l'équation

ou

de solution générale

La solution cherchée est donc

3. Soit un circuit électrique comportant un condensateur de capacité , une résistance et un interrupteur.

A l'instant , on ferme l'interrupteur. Prédire la tension aux bornes de la résistance et l'intensité passant dans le circuit en fonction du temps.
Appelons la borne de la résistance qui est reliée à l'armature chargée positivement du condensateur, l'autre borne de la résistance.
On peut écrire
, où est orienté comme entrant en et sortant en .
Mais cela donne aussi pour le condensateur

D'après les conventions de signes et de sens que nous avons choisies, on peut écrire

ce qui veut dire que l'intensité du courant est due à la perte de charge aux armatures du condensateur.

En égalant ces deux expressions de , on obtient

soit

Cette équation différentielle a pour solution générale

où est une constante qui n'est autre que la charge de l'armature positive à l'instant initial .
Comme , on obtient instantanément

où
Pour trouver , il suffit de dériver par rapport au temps (et changer un signe) :

[modifier ( modifier-389-section-2.cours)]Equation homogène du second ordre

Cherchons les solutions de l'équation
(4)
sous la forme

Alors

et l'équation (4) s'écrit

soit

(On appelle ceci l'"équation caractéristique" de (4))

• Si

on a deux solutions distinctes

Nous avons donc trouvé deux solutions de forme "exponentielles" :
En fait, toute combinaison linéaire de ces deux solutions est aussi une solution : posons

Alors

On a bien
Nous admettrons jusqu'au niveau du Baccalauréat qu'il n'existe pas d'autre solution à (4) La solution générale de l'équation (avec ) est la combinaison linéaire où sont les solutions de l'"équation caractéristique"

• Si

l'équation caractéristique n'a qu'une solution (racine double) :
Montrons que si est solution de (4), alors est aussi solution.
En effet,
et


(car ) Donc
La solution générale de (4) avec est

avec

• Si

Alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées l'une de l'autre :


que nous écrirons sous la forme
 ; donc
La solution générale de (4) avec est

Avec
On peut aussi l'écrire

avec

[modifier ( modifier-389-section-3.cours)]Equations avec second membre