Dernière version du 26.05.2008 12h59
[modifier (
modifier-392-section-1.cours)]Dérivée d'une fonction homographique
La dérivée de la fonction homographique est donnée par :
On rappelle la définition du déterminant d'ordre 2 :
[modifier ( modifier-392-section-2.cours)]Preuve (évidente)
C'est tout ! 
[modifier ( modifier-392-section-3.cours)]Détermination ultra-rapide du sens de variation d'une fonction homographique ou composée comprenant une fonction homographique
Le signe de la dérivée, c'est juste le signe du déterminant figurant à son numérateur.
Exemple 1
est décroissante, car le déterminant (qu'on peut faire "de tête") est
en effet, on peut écrire
Exemple 2
est croissante, car le déterminant n'est autre que
en effet, on peut écrire
Exemple 3
est décroissante, car le déterminant est
Représentons, pour voir, la courbe de :
On remarquera que , mais décroît en deux fois : d'abord de 1 à
(sur l'intervalle
) puis de
à 1 (sur l'intervalle
)
Exemple 4
: d'abord, cette fonction est définie sur tout
, car son dénominateur ne s'annule pas.
Ensuite, l'application est croissante sur
et décroissante sur
On peut dire que , avec
, cette dernière étant homographique, et toujours croissante, car le déterminant
Rappel : la composée de deux fonctions est définie par
;
Ici
Conclusion,
[Pour ceux et celles qui n'ont pas compris :
- lorsque
croît,
croît
- Sur
, lorsque
croît.
- Si
croît donc aussi.
et
- Sur
, lorsque
- Si
décroît aussi.] Vérifions graphiquement : courbe
Remarque
La fonction est visiblement paire. D'où la symétrie de par rapport à l'axe des y, et le sens de variation prévisible.