Dernière version du 05.05.2008 00h44
Sommaire
1 Définitions
1.1 Définition de base (1)
1.2 Définition 2
1.3 Définition 3
2 Utilisation des différentes définitions
2.1 Signification de |a| < R
2.1.1 Première approche
2.1.2 Deuxième approche
3 Distance dans l'ensemble des réels
3.1 Inégalité triangulaire
3.1.1 ...Satisfaite par la valeur absolue
3.1.2 ...Satisfaite par la distance entre réels
Dans les années 1970, les valeurs absolues étaient au programme des Collèges en France, "enseignement court", c'est-à-dire pour les élèves prévoyant d'entrer dans la vie active après la Troisième, avec le Brevet (BEPC). Ce n'est donc pas bien difficile !
[modifier (
modifier-393-section-1.cours)]Définitions
On a l'habitude de présenter les valeurs absolues par une seule définition :
[modifier ( modifier-393-section-2.cours)]Définition de base (1)
ce qui est juste, clair, mais a l'inconvénient de n'être pas optimal, parfois même lourd et pénible, pour tous les problèmes rencontrés.
Nous proposons trois définitions alternatives. Celle qui précède, et
[modifier ( modifier-393-section-3.cours)]Définition 2
La valeur absolue d'un réel, c'est sa distance à zéro :
On a bien |4| = 4 car 4 est à une distance 4 de l'origine,
|-3| = 3 car -3 est à une distance 3 de l'origine.
Il est bien clair que la définition 2 définit la même chose que la définition 1.
[modifier ( modifier-393-section-4.cours)]Définition 3
La valeur absolue d'un réel , c'est le plus grand des deux nombres
. Cela se note
("Sup" se comprend : le plus grand parmi...)
Il est clair que cette définition 3 définit bien la même chose que la définition 1:
[modifier ( modifier-393-section-5.cours)]Utilisation des différentes définitions
[modifier ( modifier-393-section-6.cours)]Signification de |a| < R
[modifier ( modifier-393-section-7.cours)]Première approche
La définition 2 nous donne :
"distance de a à 0 < R" ce qui s'écrit
ou
Penser à la petite chèvre et au piquet planté à l'origine :
La petite chèvre étant attachée à un piquet au point O par une corde de longueur R, ne peut aller au-delà de l'intervalle ]-R;R[.
On a aussi, bien sûr :
ou
[modifier ( modifier-393-section-8.cours)]Deuxième approche
La définition 3 nous donne :
"le plus grand parmi a et -a", donc
Or quand je dis :
"Le plus grand parmi Jean et Paul est plus petit qu'André",
cela veut dire
"Jean et Paul sont tous deux plus petits qu'André", aussi
soit
[modifier ( modifier-393-section-9.cours)]Distance dans l'ensemble des réels
En pratique, on peut "voir" que la distance entre 2 et 5 est 3, que la distance entre -1 et 3 est 4.
Dans le premier cas, en regardant 2 et 5, on remarque tout de suite que 5 - 2 = 3 (c'est la distance), et 2 - 5 = -3 (c'est son opposé).
Donc la distance entre 2 et 5 n'est autre que la valeur absolue de leur différence :
d(2;5) = |2 - 5| = 3
d(5;2) = |5 - 2| = 3
Nous définirons donc, en général, la distance entre deux réels par
On remarque la similitude de cette définition avec la définition 2, car
[modifier ( modifier-393-section-10.cours)]Inégalité triangulaire
[modifier ( modifier-393-section-11.cours)]...Satisfaite par la valeur absolue
Enonçons-la :
ou : "la valeur absolue d'une somme est plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues".
C'est un principe qui permet de prouver de nombreux résultats, autrement inaccessibles, en mathématiques.
Preuve
(i) Si sont des réels positifs ou nuls, alors
, et l'on a
(ii) Si
alors et
car
(iii) Si
alors et
car
[modifier ( modifier-393-section-12.cours)]...Satisfaite par la distance entre réels
Enonçons :
autrement dit
Preuve :
Ecrivons
C'est tout ! 
On a aussi l'inégalité triangulaire "soustractive" :
Pour les valeurs absolues :
Preuve :
Rappelons que le membre de gauche est la valeur absolue de .
Dire qu'il est plus petit que revient à dire que le plus grand parmi
et de son opposé
est plus petit que
:
Rappelons que cela veut dire que les deux nombres sont inférieurs à
.
L'inégalité est démontrée.
Comme elle ne dépend pas du signe qui précède , on peut encore écrire en toute généralité :
Pour les distances entre nombres réels :
Enoncé : on a
Soit
Preuve :
Elle est simple : , et l'on remplace dans l'inégalité pour les valeurs absolues
par
,
par
, et
par
.
