Puissances fractionnaires

Dernière version du 08.05.2008 03h30

Sommaire

1 Notation en exposant fractionnaire
1.1 Racine carrée
1.1.1 Rappel : domaine de définition
1.1.2 Trois notations pour le même nombre
1.2 Racine cubique
1.2.1 Domaine de définition
1.2.2 Trois notations pour le même nombre
2 Dérivées des fonctions puissance
2.1 Racine carrée
2.1.1 Racine cubique
3 Généralisation
3.1 Racines n-ièmes
3.2 Trois notations pour un même nombre
3.3 Dérivée

[modifier ( modifier-396-section-1.cours)]Notation en exposant fractionnaire

[modifier ( modifier-396-section-2.cours)]Racine carrée

On sait que la racine carrée d'un nombre positif (ou nul) $Formule mathématique$ est le nombre positif (ou nul), noté $Formule mathématique$ , dont le carré vaut a :
$Formule mathématique$
Mais, connaissant la règle de calcul $Formule mathématique$ , ( $Formule mathématique$ se lit $Formule mathématique$ fois $Formule mathématique$ ) on a aussi
$Formule mathématique$
On posera donc
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-3.cours)]Rappel : domaine de définition

$Formule mathématique$ existe (est défini) pour $Formule mathématique$ , puisque
$Formule mathématique$ et donc $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-4.cours)]Trois notations pour le même nombre

Regardons par exemple
$Formule mathématique$ : on peut l'écrire
$Formule mathématique$
On retiendra :
$Formule mathématique$
(si du moins $Formule mathématique$ , car si $Formule mathématique$ est pair et $Formule mathématique$ , le premier membre sera défini, mais pas le second)

[modifier ( modifier-396-section-5.cours)]Racine cubique

La racine cubique d'un réel $Formule mathématique$ , c'est le réel noté $Formule mathématique$ dont le cube vaut $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Mais comme
$Formule mathématique$
nous poserons également :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-6.cours)]Domaine de définition

Le domaine de définition de la racine cubique, c'est $Formule mathématique$ tout entier.
Ainsi $Formule mathématique$
et en général
$Formule mathématique$
ce qui signifie que la fonction racine cubique : $Formule mathématique$ est impaire :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-7.cours)]Trois notations pour le même nombre

De la même façon, on aura
$Formule mathématique$
mais ici, sans aucune condition de signe sur $Formule mathématique$ .

[modifier ( modifier-396-section-8.cours)]Dérivées des fonctions puissance

[modifier ( modifier-396-section-9.cours)]Racine carrée

On sait que
$Formule mathématique$
ce qui donne, si $Formule mathématique$ est une fonction positive et dérivable de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$ , ou mieux :
$Formule mathématique$
Vérifions qu'en fait, la formule, démontrée pour les exposants entiers :
$Formule mathématique$
reste vraie pour $Formule mathématique$ ; en effet :
$Formule mathématique$
ce qui veut dire exactement $Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-10.cours)]Racine cubique

Cherchons la dérivée de la fonction racine cubique :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Commentaire : comme on ne peut soustraire à travers les racines cubiques $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , on a cherché à éliminer au numérateur les racines cubiques, ce qui est possible avec l'identité remarquable
$Formule mathématique$
A la fin du calcul, on a fait tendre $Formule mathématique$ vers zéro, c'est-à-dire qu'on a supprimé tous les $Formule mathématique$ .
La formule
$Formule mathématique$ reste vraie pour $Formule mathématique$ ; en effet :
$Formule mathématique$
On retrouve bien la dérivée de la fonction racine cubique, trouvée plus haut.
Plus généralement, on a (comme plus haut) :
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-396-section-11.cours)]Généralisation

[modifier ( modifier-396-section-12.cours)]Racines n-ièmes

Définissons la puissance $Formule mathématique$ d'un réel $Formule mathématique$ :
Si $Formule mathématique$ , c'est le nombre positif, noté $Formule mathématique$ dont la $Formule mathématique$ puissance vaut $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Si $Formule mathématique$ est pair ( $Formule mathématique$ ), alors $Formule mathématique$ n'est défini que si $Formule mathématique$ , en effet,
$Formule mathématique$
Si $Formule mathématique$ est impair, la racine $Formule mathématique$ est un réel du même signe que $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
et tout réel admet une racine cubique.

[modifier ( modifier-396-section-13.cours)]Trois notations pour un même nombre

On peut définir
$Formule mathématique$
Si la fraction $Formule mathématique$ est irréductible, alors cette expression est

définie si $Formule mathématique$ dans le cas où $Formule mathématique$ est pair
définie sur $Formule mathématique$ dans le cas où $Formule mathématique$ est impair.

[modifier ( modifier-396-section-14.cours)]Dérivée

On montre de la même façon que
$Formule mathématique$
D'où, également,
$Formule mathématique$

Dernière mise à jour: le 08.05.2008 à 04:30
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