Méthode de Gauss pour résoudre les systèmes d'équations à un assez grand nombre d'équations et d'inconnues

Dernière version du 09.05.2008 19h55

Sommaire

1 Principe
1.1 Notation
2 Application
2.1 Exemple 1
2.2 Deuxième exemple

[modifier ( modifier-399-section-1.cours)]Principe

Soit un système, par exemple de 3 équations :
$Formule mathématique$
Montrons que ce système est équivalent au système
$Formule mathématique$
obtenu en "ajoutant" à la deuxième équation, $Formule mathématique$ fois la première, et à la troisième équation, $Formule mathématique$ fois la première, $Formule mathématique$ étant des constantes quelconques.
Il est clair que $Formule mathématique$ , en effet
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
(simple addition membre à membre) Idem pour la 3e équation.
Montrons que $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
(soustraction membre à membre)
C'est donc démontré.

[modifier ( modifier-399-section-2.cours)]Notation

On appellera les équations les "lignes". Le système est donc
$Formule mathématique$
et il est équivalent à
$Formule mathématique$

[modifier ( modifier-399-section-3.cours)]Application

[modifier ( modifier-399-section-4.cours)]Exemple 1

Prenons un système de 3 équations à 3 inconnues pour donner un exemple simple (une fois le principe compris, on peut traiter assez facilement 4 équations à 4 inconnues, 5 équations à 5 inconnues, etc.) :
$Formule mathématique$
Transformons ce système en
$Formule mathématique$
soit :
$Formule mathématique$
On a ainsi éliminé les $Formule mathématique$ dans les deux dernières équations.
On pourrait, soit résoudre classiquement les deux dernières équations (substitution, addition ou soustraction, soit formules de Cramer), soit continuer par la méthode de Gauss, ce que nous allons faire à titre d'exercice ; on a :
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
qu'on remplacera par
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
On a ainsi éliminé les $Formule mathématique$ dans la troisième équation.
On dit qu'on a mis le système sous forme triangulaire, ou qu'on l'a "triangularisé" :
$Formule mathématique$
Un système triangulaire se résout immédiatement :
$Formule mathématique$
Vérifions avec Xcas-GIAC (voir leçons sur ce logiciel libre et gratuit) :
solve([x-2*y+3*z=10,2*x-5*y-7*z=-1,-x+8*y-4*z=3],[x,y,z])
Hourra ! GIAC confirme nos petits calculs ! (N.d.A : Xcas est l'interface graphique, le vrai moteur mathématique est GIAC)

[modifier ( modifier-399-section-5.cours)]Deuxième exemple

Soit le système d'équations
$Formule mathématique$
La 3e équation est la plus intéressante à transformer, de manière à faciliter nos calculs ultérieurs : écrivons le système en la mettant en premier et en la réécrivant :
$Formule mathématique$
Transformons le système $Formule mathématique$ en $Formule mathématique$
ce qui donne :
$Formule mathématique$
On a éliminé les $Formule mathématique$ dans les 3 dernières équations.
Eliminons les $Formule mathématique$ dans les 2 dernières :
Appelons
$Formule mathématique$ le système des 3 dernières équations ; Ecrivons-le (en renommant les "lignes") :
$Formule mathématique$
et remplaçons-le par
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
Par chance, l'une des inconnues a été éliminée sans que nous ayons à lever le petit doigt. Le système est déjà triangularisé ; on trouve de suite :

$Formule mathématique$
Vérifions (on a intérêt ! ) avec GIAC :
solve([2*x+3*y+4*z+5*t=12,3*x-2*y+6*z-7*t=-5,-2*x+5*y-4*z-2*t=0,4*x-5*y-3*z+6*t=2],[x,y,z,t])
Encore une fois, l'ami GIAC nous donne raison !
On peut vérifier que cette méthode est la plus facile de toutes, il suffit d'en faire l'essai...!

Dernière mise à jour: le 09.05.2008 à 20:55
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